Algorithm学习笔记 --- Minimum Inversion Number

Problem Description

The inversion number of a given number sequence a1, a2, ..., an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.

For a given sequence of numbers a1, a2, ..., an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:

a1, a2, ..., an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)
a2, a3, ..., an, a1 (where m = 1)
a3, a4, ..., an, a1, a2 (where m = 2)
...
an, a1, a2, ..., an-1 (where m = n-1)

You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

 

Input

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

 

Output

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

 

Sample Input

101 3 6 9 0 8 5 7 4 2

 

Sample Output

16

 

Author

CHEN, Gaoli

 

Source

ZOJ Monthly, January 2003

题意：此题的意思是让你输入n个数求出经过n-1次变换的最小的逆叙述。

解题分析：

此题可以多种解法：

1.暴力求解：

思路是这样的，先输入一长串数字，存入数组，然后用双重

for(int i=0;i<n;i++)

{

for(int j=i-1;j>=0;j--)
{

if(a[j]>a[i])

count++;//几下一共有多少个。

}

}

求出每输入一个a[i]之后a[i]前面有多少个数比a[i]大并且在a[i]之前，每存在一个就用计数器count存起来。

这是求出的原数列的你叙述。时间复杂度为O(n*n)。然后继续进行比较经过n-1次变换的每个数列的最小逆序数。

求经过变化的每次逆序数的公式是：

for(int i=0;i<n-1;i++)
{
            count=count-a[i]+(n-a[i]-1);
            if(count<MIN) //每次变化后进行比较，如果比当前的逆序数小的话就输出较小的逆序数。
                MIN=count;

 }

代码如下：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#define MAXN 5010
using namespace std;
int main()
{
    int n,a[MAXN];
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        int count=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            for(int j=i-1;j>=0;j--)
            {
                if(a[j]>a[i])
                {
                    count++;
                }
            }
        }
        int MIN=count;
        for(int i=0;i<n-1;i++)
        {
            count=count-a[i]+(n-a[i]-1);
            if(count<MIN)
                MIN=count;
        }
        cout<<MIN<<endl;
    }
 return 0;
}

2.线段树优化：

解题思路：

当每次数列变化的时候更新节点，然后区间求和：

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 5010
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
int cut[MAXN<<2];
void pushup(int rt)
{
    cut[rt]=cut[rt<<1]+cut[rt<<1|1];
}
void build(int l,int r,int rt)
{
    cut[rt]=0;
    if(l==r)
        return;
    int m=(l+r)>>1;
    build(lson);
    build(rson);
}
void update(int p,int l,int r,int rt)
{
    if(l==r)
    {
        cut[rt]++;
        return ;


    }
    int m=(l+r)>>1;
    if(p<=m)
        update(p,lson);
    else
        update(p,rson);
    pushup(rt);
}
int query(int L,int R,int l,int r,int rt)
{
    if(L<=l && r<=R)
    {
        return cut[rt];
    }
    int m=(l+r)>>1;
    int ret=0;
    if(L<=m)
        ret+=query(L,R,lson);
    if(R>=m)
        ret+=query(L,R,rson);
    return ret;
}
int a[MAXN];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        build(0,n-1,1);
        int sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum+=query(a[i],n-1,0,n-1,1);
            update(a[i],0,n-1,1);
        }
        int ret=sum;
        for(int i=0;i<n-1;i++)
        {
            sum+=n-a[i]-a[i]-1;
            ret=min(ret,sum);
        }
        cout<<ret<<endl;
    }


    return 0;
}