熵编码 之 3. Golomb coding

Golomb coding主要针对整数进行编码，其基本思想是对较小的数用较短的编码，对于较大的数使用较长的编码。即，达到这样一个效果，假设X为要进行编码的整数，当X趋于较小的取值时，此时的Golomb编码较短。这样可以有效的节省空间。

Golomb coding应用的范围主要是整数，尤其是小整数比较多的情况。

Golomb coding使用一个可调的参数M，将输入的值分为两部分：

q：被M除的结果

r：余数

商使用一元编码（unary coding），商后面紧跟着余数，余数使用截短的二进制编码。当M=1时，Golomb coding等价于一元编码（unary coding）。

假设对正整数X进行Golomb编码，选择参数m，令

b = 2m 

q = INT((X-1)/b)

r = X - qb - 1

这样，X可以被编码为两部分：

第一部分是有q个1加上1个0组成

第二部分为m位二进制数，其值为r（r一定小于2m）

 

实例-1：m = 0

此时b = 20 = 1

x = 1

q = INT((x-1)/b) = INT((1-1)/1) = 0

r = x - qb - 1 = 1 - 0*1 -1 = 0

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 0位二进制数r = 0，为：

0

x = 2

q = INT((x-1)/b) = INT((2-1)/1) = 1

r = x - qb - 1 = 2 - 1*1 -1 = 0

则x编码为q = 1个1，加上1个0，加上m = 0位二进制数r = 0，为：

10

x = 3

q = INT((x-1)/b) = INT((3-1)/1) = 2

r = x - qb - 1 = 3 - 2*1 -1 = 0

则x编码为q = 2个1，加上1个0，加上m = 0位二进制数r = 0，为：

110

……

x = 9

q = INT((x-1)/b) = INT((9-1)/1) = 8

r = x - qb - 1 = 9 - 8*1 -1 = 0

则x编码为q = 8个1，加上1个0，加上m = 0位二进制数r = 0，为：

111111110

上面的编码汇总成表格，为：

值x

m = 0

1

0

2

10

3

110

4

1110

5

11110

6

111110

7

1111110

8

11111110

9

111111110

 

实例-2：m = 1

此时b = 21 = 2

x = 1

q = INT((x-1)/b) = INT((1-1)/2) = 0

r = x - qb - 1 = 1 - 0*2 -1 = 0

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 1位二进制数r = 0，为：

0 0

x = 2

q = INT((x-1)/b) = INT((2-1)/2) = 0

r = x - qb - 1 = 2 - 0*2 -1 = 1

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 1位二进制数r = 1，为：

0 1

x = 3

q = INT((x-1)/b) = INT((3-1)/2) = 1

r = x - qb - 1 = 3 - 1*2 -1 = 0

则x编码为q = 1个1，加上1个0，加上m = 1位二进制数r = 0，为：

10 0

……

x = 9

q = INT((x-1)/b) = INT((9-1)/2) = 4

r = x - qb - 1 = 9 - 4*2 -1 = 0

则x编码为q = 4个1，加上1个0，加上m = 1位二进制数r = 0，为：

11110 0

上面的编码汇总成表格：

值x

m = 1

1

0 0

2

0 1

3

10 0

4

10 1

5

110 0

6

110 1

7

1110 0

8

1110 1

9

11110 0

 

 

实例-2：m = 2

此时b = 22 = 4

x = 1

q = INT((x-1)/b) = INT((1-1)/4) = 0

r = x - qb - 1 = 1 - 0*4 -1 = 0

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 2位二进制数r = 0，为：

0 00

x = 2

q = INT((x-1)/b) = INT((2-1)/4) = 0

r = x - qb - 1 = 2 - 0*4 -1 = 1

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 2位二进制数r = 1，为：

0 01

x = 3

q = INT((x-1)/b) = INT((3-1)/4) = 0

r = x - qb - 1 = 3 - 0*4 -1 = 2

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 2位二进制数r = 2，为：

0 10

……

x = 9

q = INT((x-1)/b) = INT((9-1)/4) = 2

r = x - qb - 1 = 9 - 2*4 -1 = 0

则x编码为q = 2个1，加上1个0，加上m = 2位二进制数r = 0，为：

110 00

上面的编码汇总成表格：

值x

m = 2

1

0 00

2

0 01

3

0 10

4

0 11

5

10 00

6

10 01

7

10 10

8

10 11

9

110 00

 

 

 

实例-2：m = 3

此时b = 23 = 8

x = 1

q = INT((x-1)/b) = INT((1-1)/8) = 0

r = x - qb - 1 = 1 - 0*8 -1 = 0

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 3位二进制数r = 0，为：

0 000

x = 2

q = INT((x-1)/b) = INT((2-1)/8) = 0

r = x - qb - 1 = 2 - 0*8 -1 = 1

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 3位二进制数r = 1，为：

0 001

x = 3

q = INT((x-1)/b) = INT((3-1)/8) = 0

r = x - qb - 1 = 3 - 0*8 -1 = 2

则x编码为q = 0个1，加上1个0，加上m = 3位二进制数r = 2，为：

0 010

……

x = 9

q = INT((x-1)/b) = INT((9-1)/8) = 1

r = x - qb - 1 = 9 - 1*8 -1 = 0

则x编码为q = 1个1，加上1个0，加上m = 3位二进制数r = 0，为：

10 000

上面的编码汇总成表格：

值x

m = 3

1

0 000

2

0 001

3

0 010

4

0 011

5

0 000

6

0 001

7

0 010

8

0 011

9

10 000

 

译码方法

以m = 2中的110 00为例：

开始时，遇到1便读入，知道遇到一个0，并记录读入1的个数。对于110 00而言，开始读入2个1和1个0，则q = 2。随后读入m = 2为的数据，作为r，r = (00)2 = 0。之后即可计算出x = r + qb + 1 = 0 + 2*22 +1 = 8 + 1 = 9。