算法——动态规划篇——01背包问题

问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi，背包的容量是M，问如何选择装入背包中的物品总价值最大？

比如说，现在有一个背包，容量上限是10，可以放物品的个数为3，即m=10,n=3;

        物品的容量和价值分别为：

        3，4

        4,    5

        5，6

        考虑怎么做，可以从这三件物品中选出价值最大的东西来进行组合呢。

      直观上可以看出，就是后两种组合到一起，问题的关键是如何让计算机知道，来分析这个过程

      动态规划的思想：空间换时间

01234567891000000000000000444444440004555999900045669101111观察上面的表

这也是一个二维数组total[4][11];

扩大了数组的范围，用来填充下标为0的情况。。

分析：

我们考虑从三个物品中任选一个物品开始讨论，假设按顺序放，开始情况为total[1][1];表示在容量为1的情况下放1个物品，怎么放呢，由于第一物品的容量为3>1，无法放进去，所以total[1][1]的值应该沿着在容量为1放0个物品的情况下的值过来，即total[1][1]=total[0][1]=0；

同理total[1][2]=0，

那么total[1][3]呢，total[1][3]的容量为3，第一个物品对应的容量也刚好为3，所以理论上是可以将物品1放到背包里面，但是，还需要考虑的是，万一total[0][3]的价值比物品1的价值大呢，（这个地方，total[0][3]=0，只是用来说明有这种情况），

我们换一种情况来说明；

total[3][6]，物品3的容量为5，小于6，可以将物品3放入到背包中，该不该放入呢，我们需要知道total[2][6]的值，为5。如果将物品3放入的话，那么容量只剩下6-5=1的容量了，原来是要放入2件物品的，即是total[2][1],有前面的表知道它为0。总的来说就是要判断total[2][6],跟total[2][1]+物品3的价值，他们两者中的大的一个，作为total[3][6]的值。

大致的思路就是这样的，具体还需要自己体会。。。

代码如下：

package hello.ant;public class AlogBeiBao {//动态规划public static void main(String[] args) {int m=10,count=3;int capacity[]={3,4,5};int value[]={4,5,6};int total[][]=new int[count+1][m+1];int i;//初始化for(i=0;i<m+1;i++){total[0][i]=0;}for(i=0;i<count+1;i++){total[i][0]=0;}for(i=1;i<count+1;i++){for(int j=1;j<m+1;j++){if(j>=capacity[i-1]){total[i][j]=max(total[i-1][j],total[i-1][j-capacity[i-1]]+value[i-1]);}else {total[i][j]=total[i-1][j];}System.out.print(total[i][j]+"  ");}System.out.println();}}static int max(int i, int j) {if(i>=j){return i;}return j;}}

结果如下，去掉了下标为0的记录：

0  0  4  4  4  4  4  4  4  4  
0  0  4  5  5  5  9  9  9  9  
0  0  4  5  6  6  9  10  11  11  

动态规划的思想就是将每一步计算的值保留下来，留作以后使用，空间换时间，还需要不断的去体会。