二叉树的顺序存储和链式存储

作为一个机械屌丝男，最近一直在恶补数据结构，昏昏沉沉地状态下终于看到了鸡冻人心的二叉树。据说这玩意儿成就了不少人，也打败了不少人，瞬间有一股膜拜的心有木有，有木有！

好啦，言归正传，先看看万能的二叉树都是怎么存储的吧。由于线性表有两种存储方式：顺序存储和链式存储。二叉树的存储也是一个线性表结构，因此也具有顺序存储和链式存储两种方式。

一、顺序存储

顺序存储是一个让人又爱又恨的玩意儿。爱是因为它理解起来比较简单，查找起来也比较方便；恨是因为这玩意儿太傻瓜，它只一次性地问内存要一段连续的空间，而且坚决不管在实际应用中够用不够用，而且这货在插入和删除元素时居然需要O(n^2)的时间复杂度，这个让人有点无语。那二叉树的顺序存储怎么样呢？让我们来分析分析。

1.比如说我有一棵完全二叉树，如图1(a)所示。该二叉树中有6个元素，可以将这六个元素按照层次从上到下，每一层从左到右的规则依次放入一个数组中，如图1(b)所示。除了数组的内存空间的问题外，这个看起来还过得去。但是，悲剧就要来了...

2.比如说，我有一棵一般二叉树，这棵二叉树只有四个结点（A/B/C/D），A拥有左右子树B/C，B是光棍没有孩子，C计划生育贯彻得好，仅有一个孩子D。但是为了能够方便地从双亲找到孩子（或者从孩子找到双亲）（关于双亲与孩子的关系，请参见数据结构之树的基本术语与性质总结），需要构建一些“虚结点”，从而使得一般二叉树“虚化”为完全二叉树，如图2(a)所示，B的两个孩子就是虚结点。然后按照完全二叉树的顺序存储方式进行存储，存储结果如图2(b)所示，数组中脚标为3的位置存放B的左子树，由于是虚结点，所以为空；脚标为4的位置存放B的右子树，同样因为是虚结点，所以为空。可以看出，对于一般二叉树，如果虚结点过多的话，数组中会有很多的空值，贼浪费空间。当然，如果您还觉得这样能过得去的话，让我们看看下面的退化二叉树吧，纯属洗脑了。

3.现在来演示一下万恶的退化二叉树，如图3(a)所示，该二叉树深度为3，但是恶心的地方到了，总共的元素个数也为3，这样，如果按照2中的方式顺序存储的话，数组中势必会有更多的元素为空。随着二叉树层数的增多，空元素是以指数级在增长的。如果这样的话，该会浪费多少内存空间啊，太可怕了。

当然，没有解决不了的问题，链式存储就是解决该问题的神器！

二、链式存储

链式存储的结构分为两种：二叉链表结构和三叉链表结构。

1.二叉链表结构

一个二叉链表结点由三部分组成：数据域，左孩子指针和右孩子指针，如下图所示。

其中，数据域data用来存放结点信息，左孩子指针lchild用来指向该结点的左子树，右孩子指针rchild用来指向该结点的右子树。图4(a)所示的完全二叉树的二叉链表结构如图4(b)所示。

2.三叉链表结构

三叉链表结点是在二叉链表结点的基础上，增加了一个指向双亲结点的指针域，如下图所示。

其中，data表示二叉树结点的数据域内容，lchild指向该结点的左孩子，rchild指向该结点的右孩子，parent指向该结点的双亲结点。图5(a)所示的完全二叉树的三叉链表结构如图5(b)所示。

三、比较

1.顺序存储与链式存储比较

（a）顺序存储分配的内存空间大小是固定的，不好根据二叉树结点数目的增多而动态扩展。如果内存空间分配过大，势必造成内存空间的浪费；如果分配过小，则会产生数组溢出的问题。另外，顺序存储在增加和删除结点时时间复杂度为O(n^2)。顺序存储的好处是方便查找结点。

（b）链式存储可以动态分配内存空间，比顺序存储更加灵活、方便，结点的最大数目仅与系统存储空间相关。另外，在插入/删除结点时的时间复杂度仅为O(n)。因此，在对二叉树操作时更多采用链式存储结构。

2.二叉链表与三叉链表

三叉链表结点比二叉链表结点多了一个指向双亲结点的指针，因此增加了空间开销。但是，三叉链表的好处是既可以查找孩子结点，也可以查找双亲结点，在需要频繁查找双亲结点的应用中更为方便。