N-queen

N-Queens
The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.
Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens’ placement, where ‘Q’ and ‘.’ both indicate a queen and an empty space respectively.
For example,
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:
[
[".Q..", // Solution 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],

["..Q.", // Solution 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]

N-queen用了回溯的写法，略区别于迭代。

转自：http://blog.csdn.net/zhangchao3322218/article/details/8091047

学习了回溯的写法。

/*
回溯法有“通用解题法”之称，可以系统的搜索问题的所有解，既有系统性也有跳跃性。
它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至洁空间树
的任一结点时，先判断该结点是否包括该问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为
根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则进入该子树，继续按深度优先策略搜索。


  回溯法解题的三个步骤：
  （1）针对所给问题，定义问题的解空间；
  （2）确定易于搜索的解空间结构；
  （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。


 递归法实现回溯：
其中t表示递归深度，n用来控制递归深度。当t>n时，算法以搜索至叶结点。此时，由output(x)记录或输出
得到的可行解x。for循环中的f(n,t)和g(n,t)分别表示在当前扩展结点处未搜索过的子树的起始编号和终止编号。
h(i)表示在当前扩展结点处x[t]的第i个可选值。constraint(t)和bound(t)是当前扩展结点处的约束函数和
限界函数。
调用一次backtrack(1)即可完成整个回溯搜索过程。
  void backtrack(int t)
  {
if(t>n)
output(x);
else
{
for(i=f(n,t); i<=g(n,t); i++)
{
x[t]=h(i);
if(constraint(t)&&bound(t))
backtrack(t+1);
}
}
  }




  采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程


 void iterativeBack()
 {
 int t=1;
 while (t>0)
 {
 if(f(n,t)<g(n,t))
 for(i=f(n,t); i<=g(n,t); i++)
 {
 x[t]=h(i);
 if(constraint(t)&&bound(t))
 {
 if (solution(t))
 output(x);
 else t++;
 }
else t--;
 }
 }
  }


  在回溯法的搜索过程中动态产生问题的解空间，在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点
的路径。如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间为O(h(n)).
而显示地存储整个解空间则需要O(2^h(n))或O(h(n)!)内存空间


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当所给的问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间树为自己树。O(2^n)
如0-1背包问题，装载问题，符号三角形问题，最大团问题，图的m着色问题，n皇后问题
当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列是，相应的解空间树称为排列树。O(n!)
如批处理作业调度，旅行售货员问题，圆排列问题，电路板排列问题

N-queen的实现：

#include <iostream>#include <cmath>#include<vector>#include<cstdlib>#include<string>using namespace std;class Solution {public:    vector<vector<string> > solveNQueens(int n)    {        numofanswer = 0;        numofqueen = n;        queen = (int*)malloc(n*sizeof(int));        backtrack(0);free(queen);        return ret;    }private:    int numofanswer;    int numofqueen;    int *queen;    vector<vector<string> >ret;    vector<string> vstr;    bool place(int k)    {        for (int j=0; j<k; j++)        if((fabs(k-j)==fabs(queen[j]-queen[k]))||(queen[j]==queen[k]))        return false;        return true;    }    void backtrack(int t)    {        int i=0;        if(t>numofqueen-1)        {            numofanswer++;            string str;                vstr.clear();            for(int j=0;j<numofqueen;j++)                str.push_back('.');            for(int j=0;j<numofqueen;j++)                vstr.push_back(str);            for(int j=0;j<numofqueen;j++)                vstr[j][queen[j]]='Q';            ret.push_back(vstr);        }        else        {            for(i=0; i<numofqueen; i++)            {                queen[t]=i;                if(place(t))                    backtrack(t+1);            }        }    }};int main(){    int m1=4;    Solution so;    vector<vector<string> > ret;    ret = so.solveNQueens(m1);    cout<<ret.size()<<endl;    cout<<ret[0][0]<<endl;    cout<<ret[0][1]<<endl;    cout<<ret[0][2]<<endl;    cout<<ret[0][3]<<endl;    cout<<endl;    cout<<ret[1][0]<<endl;    cout<<ret[1][1]<<endl;    cout<<ret[1][2]<<endl;    cout<<ret[1][3]<<endl;return 0;}

另附非递归写法：

http://blog.csdn.net/zhangchao3322218/article/details/8097190