uva 10104 Euclid Problem （数论-扩展欧几里德）

 Euclid Problem 

The Problem

From Euclid it is known that for any positive integers A and B there exist such integers X and Y that AX+BY=D, where D is the greatest common divisor of A and B. The problem is to find for given A and B corresponding X, Y and D.

The Input

The input will consist of a set of lines with the integer numbers A and B, separated with space (A,B<1000000001).

The Output

For each input line the output line should consist of three integers X, Y and D, separated with space. If there are several such X and Y, you should output that pair for which |X|+|Y| is the minimal (primarily) and X<=Y (secondarily).

Sample Input

4 617 17

Sample Output

-1 1 20 1 17

题目大意：

已知 A 和 B ， 问你 A*X+B*Y=GCD(A,B)的 X,Y解。

解题思路：

非常裸的拓展欧几里德算法。

拓展欧几里德算法证明过程：

因为 B*X1+A%B*Y1=GCD(B,A%B) =GCD(A,B)=A*X+B*Y

所以 B*X1+(A-A/B*B)*Y1=A*X+B*Y

A*Y1+B*(X1-A/B*Y1)=A*X+B*Y

于是： X=Y1,Y=(X1-A/B*Y1)

因此，得出（ A*X+B*Y=GCD(A,B)的 X,Y解）结论：

当B=0时，GCD(A,B)=A，很明显，X=1,Y=0是解

当B!=0时，只需递归， 求B*X1+A%B*Y1=GCD(B,A%B) 的解，求出X1,Y1的解的数值之后，自然可以求出X,Y。

证明绝对值相加最小，x<y，请参照博客【转】：http://blog.csdn.net/metaphysis/article/details/6538584

解题代码：

#include <iostream>using namespace std;int x,y;int extend_gcd(int a,int b){    if(b==0){x=1;y=0;return a;    }else{int ans=extend_gcd(b,a%b);int tmp=y;y=x-a/b*y;x=tmp;return ans;    }}int main(){    int a,b;    while(cin>>a>>b){int d=extend_gcd(a,b);cout<<x<<" "<<y<<" "<<d<<endl;    }    return 0;}

补充：
gcd函数的基本性质：
gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)

再补充欧几里德算法证明  why gcd(a,b)=gcd(b,a%b)   ???

证明：

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc
第二步：a可以表示成a = kb + r，r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】
从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），
又因为a=kb+r，则r = a mod b,所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b）得证

补充拓展欧几里德 ax+by=gcd(a,b) 所有解的通项公式：

xk = x0 + b/gcd(a, b) * k

yk = y0 -  a/gcd(a, b) * k  (其中k为任意整数)