求树的“直径”以及所想到的

分类： c++2013-11-05 14:59 249人阅读 评论(0) 收藏 举报

算法导论直径

算法导论22.2-7题：树T=（V,E）的直径（diameter）定义为max(u,v)，亦即，树的直径是树中所有最短路径长度中的最大值。试写出计算树的直径的有效算法，并分析算法的运行时间。

如果这里的树T是简单的二叉树或者多叉树，我们可以用递归来解决（Diameter(tree T)表示T的直径）;

1. 求出T左子树的最深节点的深度Dleft，求出T右子树最深节点的深度Dright。

2. 则T的直径为：max(Dleft + Dright + 1, Diameter(T->left), Diameter(T->right))

这里使用递归是因为有可能直径不经过根节点。时间复杂度为O(n^2).

下面还有个优化方法，可以使得时间复杂度为O(n).

Optimized implementation: The above implementation can be optimized by calculating the height in the same recursion rather than calling a height() separately. Thanks to Amar for suggesting this optimized version. This optimization reduces time complexity to O(n).

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1. /*The second parameter is to store the height of tree. 
2.    Initially, we need to pass a pointer to a location with value 
3.    as 0. So, function should be used as follows: 
4.   
5.    int height = 0; 
6.    struct node *root = SomeFunctionToMakeTree(); 
7.    int diameter = diameterOpt(root, &height); */  
8. int diameterOpt(struct node *root, int* height)  
9. {  
10.   /* lh --> Height of left subtree 
11.       rh --> Height of right subtree */  
12.   int lh = 0, rh = 0;  
13.     
14.   /* ldiameter  --> diameter of left subtree 
15.       rdiameter  --> Diameter of right subtree */  
16.   int ldiameter = 0, rdiameter = 0;  
17.     
18.   if(root == NULL)  
19.   {  
20.     *height = 0;  
21.      return 0; /* diameter is also 0 */  
22.   }  
23.     
24.   /* Get the heights of left and right subtrees in lh and rh 
25.     And store the returned values in ldiameter and ldiameter */  
26.   ldiameter = diameterOpt(root->left, &lh);  
27.   rdiameter = diameterOpt(root->right, &rh);  
28.     
29.   /* Height of current node is max of heights of left and 
30.      right subtrees plus 1*/  
31.   *height = max(lh, rh) + 1;  
32.     
33.   return max(lh + rh + 1, max(ldiameter, rdiameter));  
34. }  

如果这里的树进化为了图，该如何求出它的直径呢？

1. 从任意一个节点u开始做第一遍BFS，得到距离u最远的那个节点v

2. 从节点v开始做第二遍BFS，得到距离v最远的节点 e, 那 v 到 e 就是直径。

证明：

1. 如果 u 在直径路径上：反证法， 如果v不在直径上，那根据直径的定义，必然存在一点v2在直径上，使得dist(u->v2) 大于 dist(u->v), 而这和BFS算法 v是从u 出发到达的所有节点中离u最远相矛盾。

2. 如果 u 不在直径路经上, 反证法，看图：

u ----- w ------- v

             /

x ----------y ----------z

上图中，u-->v 是第一遍BFS算出来的路径，x-->z 是直径路径，反证法假设v 不在直径路径上，如图所示。根据树和联通图的定义，u->v中必然存在一点w, 和x->z中的某点y 相连通，或者说必然存在一个路径 w--y ,链接uv和xz。

代码就不写了，不是很复杂。