单边正弦信号拉斯变换 matlab

来源：互联网发布：java treemap 编辑：程序博客网时间：2024/04/30 15:38

单边正弦信号拉氏变换

拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是应用数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为

\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}

。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t ≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。

应用：有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

基本定义[编辑]

如果定义：

$f(t)\,$ 是一个关于 $t\,$ 的函数，使得当 $t<0\,$ 时候， $f(t)=0\,$ ；
$s\,$ 是一个复变量；
$\mathcal{L}$ 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分 $\int_0^\infty e^{-st}\,dt$ ； $F(s)\,$ 是 $f(t)\,$ 的拉普拉斯变换结果。

则 $f(t)\,$ 的拉普拉斯变换由下列式子给出：

F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

拉普拉斯变换的基本性质[编辑]

线性叠加

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

时域微分（单边拉普拉斯变换）

\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)

\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)

\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)

s域微分

\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)

\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]

s域积分

\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1

时域积分

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

初值定理

f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}

，要求

{F(s)}

为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法将

{F(s)}

分解

终值定理

f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}

　，要求

{F(s)}

的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值未定义(例如：

e^t\,

或

\sin(t)\,

)。

$s$ 域平移

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)

\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)

时域平移

\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)

\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)

注:

u(t)\,

表示阶跃函数.

卷积

\mathcal{L} \left\{f(t) * g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}*\mathcal{L}\{ g(t) \}

　，

c\,

是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有

F(\sigma)\,

的个别点的实部值。

\mathcal{L}\left\{f(t) * g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}* \mathcal{L}\{ g(t) \}

这个不想多说维基百科解释的很好以上就是来自维基，大家自行百度。

下面给出一个例题：

例6-1：已知连续时间信号，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB绘制拉普拉斯变换的曲面图。

解：该信号的拉普拉斯变换为：

利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：

%绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序

注释： meshgrid() 用来产生矩阵 s s 是一个复频域 a 为实部 b为虚部

ones()函数将器全部变成1

mesh 函数可以画出曲面图三维的

abs() 取绝对值

代码：

close all;a = -0.5:0.08:0.5;b = -1.99:0.08:1.99;[a,b] = meshgrid(a,b);d = ones(size(a));c = a +i*b;c = c.*c;c =c + d;c = 1./c;c = abs(c);mesh(a,b,c);surf(a,b,c);axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);title('单边正弦信号拉斯变换曲线图');colormap(hsv);

运行结果：

0 0