普林斯顿公开课 算法1-10：并查集-优化的快速合并方法

本节介绍的是快速合并的优化算法。基本思想就是在每个节点上增加重量的概念，每次操作的时候将重量小的部件挂在重量大的部件之下。这样就避免了树形结构太高的问题。

下图展示了优化前后的树形结构深度的对比。

证明

可以证明每个节点的深度最大为lgN。

1. 因为每次合并的时候较小的部件要放在较大的部件之下，所以如果要增加树的高度，每次合并之后，树的大小至少要翻一番。

2. 而N个节点最多只能翻lgN番。

复杂度

这种算法中合并操作最坏的复杂度为lgN，查询操作最坏情况的复杂度为lgN。

路径压缩

虽然目前的算法已经能够保证复杂度在lgN以下，但是还有更好的方法。

基本想法就是在查找根节点时，将路径上的所有节点进行路径压缩。只需要一行额外的代码。

使用路径压缩之后查询操作的复杂度是lg*N。lg*是另外一种函数，表示的是lgN几次才能达到1。比如lg*16，需要三次lg，lg16=4，lg4=2，lg2=1，所以lg*16=3。

理论上来说查询操作的复杂度不是1，但是实际应用中，这种算法的复杂度就是1。

结论

虽然现代的超级计算机速度很快，但是好的算法能节省更多的时间。第一种快速查找算法解决一个问题需要30年时间，而现在有了更好的算法，解决同样的问题只需要6秒。所以，不要期望以后计算机速度快了算法就不需要了，算法是计算机的基础，它永远不会过时。

代码

public class UnionFind {

    private int[] id;

    private int[] size;

 

    public UnionFind(int n) {

        id = new int[n];

        size = new int[n];

        for(int i = 0; i < n; i++) {

            id[i] = i;

            size[i] = 1;

        }

    }

 

    public void union(int a, int b) {

        int root_a = root(a);

        int root_b = root(b);

 

        if(root_a == root_b) {

            return;

        }

 

        // 为了保持树的平衡

        if(size[root_a] < size[root_b]) {

            id[root_a] = id[root_b];

            size[root_b] += size[root_a];

        } else {

            id[root_b] = id[root_a];

            size[root_a] += size[root_b];

        }

    }

 

    public boolean connected(int a, int b) {

        return root(a) == root(b);

    }

 

    public int root(int x) {

        while(x != id[x]) {

            id[x] = id[id[x]]; // 路径压缩

            x = id[x];

        }

        return x;

    }

}