01背包

来源:互联网 发布:mac怎么删除office2016 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 01:11

问题描述

从 M 件物品取出若干件放在空间为 V 的背包里,第 i 件物品的体积为 c[i],其价值为 w[i],求出获得最大价值的方案。

解题思路

这是一个很基础、很经典的动态规划问题,用 dp[i][j]  表示前 i 个物品放入容量为j的背包的最大价值,根据当前最优解包含或不包含第 i 件物品两种情况,可列状态转换方程如下:

dp[i][j] = max{dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - c[i]] + w[i]}

关于这个状态方程,我是这么理解的:当最优解不包含第 i 件物品时,dp[i][j] 与 dp[i - 1][j] 相等,当最优解包含第 i 件物品时,需要从 dp[i - 1][j] 中让出 c[i] 的空间,然后再算上第 i 件物品的价值,即为前 i 件物品的最大价值。

根据状态方程可打表如下图:


关键算法代码

#include <iostream>using namespace std;//第一下标i:物品个数,1 - (M)//第二下标j:背包剩余可用空间int dp[100][100] = { 0 };/////////////////////// c 物品体积// w 物品价值// M 物品个数// V 背包容量/////////////////////int knap(int* c, int* w, int M, int V){    //k 表示物品的真实索引号    int i = 1, j = 0, k = 0;    for (; i <= M; i++)    {        k = i - 1;        for (j = 0; j <= V; j++)        {            if (c[k] <= j && dp[i - 1][j - c[k]] + w[k] > dp[i - 1][j])                dp[i][j] = dp[i - 1][j - c[k]] + w[k];            else                dp[i][j] = dp[i - 1][j];        }    }    return dp[i - 1][j - 1];}int main(){    int M = 5, V = 10;    int c[] = {1, 2, 3, 4, 5 };    int w[] = {5, 4, 3, 2, 1 };    int rs = knap(c, w, M, V);    cout << rs << endl;    return 0;}

算法优化

上述算法时间复杂度和空间复杂度均为 O(MV),其时间复杂度已经不能优化了,但空间复杂度可进一步优化到O(V),算法如下:

#include <iostream>using namespace std;int dp[100] = { 0 };/////////////////////// c 物品体积// w 物品价值// M 物品个数// V 背包容量/////////////////////int knap(int* c, int* w, int M, int V){    int i = 1, j = V, k = 0;    for (; i <= M; i++)    {        k = i - 1;        for (j = V; j >= c[k]; j--)        {            if (dp[j] < dp[j - c[k]] + w[k])            {                dp[j] = dp[j - c[k]] + w[k];            }        }    }    return dp[V];}int main(){    int M = 5, V = 10;    int c[] = {1, 2, 3, 4, 5 };    int w[] = {5, 4, 3, 2, 1 };    int rs = knap(c, w, M, V);    cout << rs << endl;    return 0;}


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