manacher算法 (O(n)求最长回文子串)

1. 前言

我们可以用O(n^2)暴力求解最长回文子串。

之所以是这个复杂度，是因为我们对每个字符比较其两边元素是否相等时，我们都是从它最旁边的一个开始迭代的。

但如果我们能以该字符为中心，其附近的某一段子串已为回文，在此基础上比较更远的元素，那么就有可能降低这个复杂度了。

2. 定义及预处理

将字串str扩展成string s(2*str.size()+1), 在str的两端及每个字符间加上个特殊符号，在此使用#

如str = "axamppm", 则s = "#a#x#a#m#p#p#m#".

这样的好处是可以同时处理回文长度为奇数或偶数的情况：因为奇数回文的中心是一个字符，偶数的则为两个字符。在扩展后得s中，最长回文子串的中心一定为一个字符(特殊字符# 或 原本str中的字符)

定义辅助数组vector<int> p(2*str.size()+1), p表示：字串s中对应下标的字符 在s中向右延伸仍为回文的最长长度。如

s: # a # x # a # m # p # p # m #

p: 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 4 2 1 2 1

mx为在当前迭代i之前，x+p[x]的最大值(即最远长度)

id为取得mx的x值。

3. 性质

如图1所示，mx > i, 且mx > i + p[j] (这个约束在图2中解释) 

由于id一定在i左边，且以j为中心的回文串完全处在一个回文串的左半部分。那么其对称点i有性质 p[i] = p[j]. 

我们即可以结束这次迭代，考察下一个点i+1.

图2为 mx > i, 且mx < i + p[j]的情况

此时因为以 j 为中心的最长回文串只是部分处在一个回文串的左半部分。那么其对称点i有性质 p[i] = mx - i;

此时因继续比较s[ i-p[i]-1 ]及s[ i+p[i]+1 ]的大小。

for ( ; i-p[i]-1>=0 && i+p[i]+1<str.size() && str[i-p[i]-1] == str[i+p[i]+1]; ++ p[i]) {}

在迭代结束后，更新mx及id.

4. 代码实现

class Solution {public:string longestPalindrome(string s) {string str(2*s.size()+1, 0);// strfor (size_t i = 0, j = 0; i < str.size(); ++ i){if (i % 2 == 0){str[i] = 0;} else{str[i] = s[j ++];}}// pint mx = 0, id, max_length=0, max_id; vector<int> p(2*s.size()+1, 0);for (int i = 0; i < str.size(); ++ i){p[i] = mx>i? min(p[2*id-i], mx-i): 0;for ( ; i-p[i]-1>=0 && i+p[i]+1<str.size() && str[i-p[i]-1] == str[i+p[i]+1]; ++ p[i]) {}if (i + p[i] > mx){mx = i + p[i];id = i;}if (max_length < p[i]){max_length = p[i];max_id = i;}}return s.substr((max_id-p[max_id])/2, p[max_id]);}};

5. 复杂度证明

考察每次迭代，

当mx > i时，

图1的情况，p[i] = p[j]后迭代结束，O(1)

图2的情况，初始化p[i] = mx - i, 之后每次运算都将移进mx.

当mx < i时，

若中心点i左右匹配不成功，迭代结束，O(1)

若匹配成功，每次运算都将移近mx.

所以只有O(N)次匹配失败，此外每次成功匹配，都将移近mx. mx共移进O(N)

由此复杂度为O(N)