c2java Greedy 之任务调度

最近调试一个java工程的时候，我遇到不是期望的输出结果时，是这么干的：
A1注释掉抛出的异常； A2加打印对比异常输入和正常输入； A3进一步加打印缩小范围。
其实只需：B1静下心来仔细观察异常栈帧。

    A1是希望改了使程序走完正常流程，得到期望的结果。这是一个局部最优选择。
在某些情形下，我们没得选择，只能根据当前得到的部分信息做判断。说白了就是不断试错的过程。比如在荒郊野外的夜晚，我们要找些干柴生火，就是一个单源多目的地最短路径问题。

可行的例子：
 找零钱 min C = \sum Ci s.t. V = \sum Vi * Ci。
 霍夫曼码 min BitLength = \sum Freq(c) * depth(c)。
 分数背包 max V =  \sum Vi * Fi s.t. \sum Wi * Fi <= W。
 带起止时间的活动选择 A(i,j) = max{A(i,k) + a(k) + A(k,j)}
不可行的例子：n个任务分配给n个人，整数背包。


拟阵(matroid)是(S,I)满足
1. S 是有限集合。
2. I是S的独立子集集合，即如果B \in I, A \subset B, 则A \in I。
3. 交换性质：如果A,B \in I, |A| < |B|, 则存在某个x \in B - A， 使得A\nion{x} \in I。
这个概念来自：
Hassler Whitney 的matric matroids, 其中S的元素是矩阵的行，
矩阵行是独立的如果它们是通常意义下的线性独立的。
无向图(V,E), S = E, E的子集A是独立的如果A是无环的。
称(S,I)是加权的，如果S中每个元素都赋予一个正数。


GREEDY(S,I,W) //返回加权最大的子集
 A = \empty
 根据W对S排降序
 for x \in S
  if A \nion {x} \in I
    A = A \nion {x}
 return A
可以证明拟阵有optimal substructure性质，上面的贪心算法是正确的。
设检测需要f(n)；整个复杂度为O(n*log(n) + n * f(n))

单处理器上带截止时间和过期惩罚的单位时间任务调度。
scheduling unit-time tasks with deadlines and penalties for a single processsor。
求任务集合S的任务如何排列，使得惩罚值最小。

转换为子集问题：
对于一个给定的排列，总可以保持惩罚值，把过期的a放在没有过期的后面b，因为把a调到后面仍然过期，把b调到前面仍然更不过期；类似地，在非过期任务中，总可以按过期时间降序排。
因为惩罚值的总和是常数，所以：过期惩罚最小 <==> 不过期惩罚最大。
转换为原问题的解：
把不过期按截止时间升序排，然后过期随便排在后面。


应用拟阵框架：
子集A称为独立的，如果存在一个调度使得没有过期的任务。记所有独立子集为I。
随便给定一个子集A，我们如何判断它是独立的？
记N(t,A)为A中截止时间不超过t的任务个数。由于截止日期从1开始，所以N(0,A)=0。
引理: A 是独立的 <==> N(t, A) <= t, for t = 0,1,...,n。(A)

定理：系统(S,I)是拟阵。
应用GREEDY算法，如果直接按(A), 总的计算复杂度为O(n^3)。

下面通过例子来探索如何减少计算量。
任务号a: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
惩罚值p:70,60,50,40,30,20,10
过期值d: 4, 2, 4, 3, 1, 4, 6
N(1,{4}) = {4}中<=1 的个数 = 0 < 1 
N(1,{4,2}) = {4,2}中<=1的个数 = 0 
N(2, {4,2}) = {4,2}中<=2的个数 = 1
A={4,2,4}:    N(1,A)=0, N(2,A)=1, N(3,A)=1。
A={4,2,4,3}:  N(1,A)=0, N(2,A)=1, N(3,A}=2, N(4,A)=4。
A={4,2,4,3,1}:N(1,A)=1, N(2,A)=2, N(3,A)=3, N(4,A)=5, N(5,A)=6。
规律：
N(t,A+{x}) = N(t,A) + (x<=t? 1 : 0) for t = 1,2,..,|A|
"N(t,A+{x}) = N(t-1, A+{x}) + (x<=t? 1 : 0) for t = |A|+1
开设一个数组记录当前的部分解A对应的N值，由于上面例子中的1不可加入，得想办法
如何维护这个数组的语义。显然N(t,A)关于t单调增，如果我们一开始从

t=|A|+1计算就可排除，如果不可排除则更新数组。"这个是错的, 对于上面倒数第二组不成立。

采用计数排序的想法，从左到右计算N(t,A)是部分和累加的过程。

另一种方案：
一种理想情形是第i个任务的截止时间恰好是i,对于所有i=1,2,...,n。
显然答案是直接把第i个任务放在时间槽i上就行了，且惩罚值为零。
扩展为一般情形，对于第i个任务，截止时间槽d[i]上要么为空，或者不空。
对于前者，直接直观想法是直接放上去就是，如果它前面还有空的话，放在d[i]显然比放在它前面更好； 对于后者，从它开始往前找到第一个空位放上，如果它前面一个空位都没有，那只好被罚了，放在最后面吧。
计算结果为：4,2,3,1,5,7,6, 其中5,6超时，处罚值为50。和上面的拟阵方案完全一样，是巧合么？
这种方案如果直接计算，总复杂度为n^2, 其中一个n是每次找空位的时间，我们用并查集来可以优化到几乎是一个小于10的常数。
这里省略掉。。。

最后来发一些哲学上感概。
世俗意义上，贪婪是形容一个人的品性的贬义词。特别是那些搞垮有不少劳工公司的银行家们。
道德经也从这个角度上说不要满，要有些缺憾，要大成若缺。
但是从任务调度，最短路这两个例子来说，它们似乎是内在的物理属性，就像水之趋下，原子总右从高能轨道到低能稳态的趋势。
并且一旦给它披上了数学外衣，就感觉它不再是人们的主观意愿了，而成了客观定律了。

Ref
[1] 系统调度综述其中的"Since Linux 2.6.23"这节 

http://en.wikipedia.org/wiki/Scheduling_(computing)