poj 2891 Strange Way to Express Integers（中国剩余定理）

来源：互联网发布：win10写字板源码编辑：程序博客网时间：2024/05/22 12:12

http://poj.org/problem?id=2891

题意：求解一个数x使得 x%8 = 7,x%11 = 9;　　　若x存在，输出最小整数解，否则输出-1；

ps:

思路：这不是简单的中国剩余定理问题，因为输入的ai不一定两两互质，而中国剩余定理的条件是除数两两互质；　　　这是一般的模线性方程组，对于　　　　X mod m1=r1　　　　X mod m2=r2　　　　...　　　　...　　　　...　　　　X mod mn=rn首先，我们看两个式子的情况X mod m1=r1……………………………………………………………(1)X mod m2=r2……………………………………………………………(2)则有 X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)X=m2*k2+r2那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2整理，得m1*k1-m2*k2=r2-r1令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1)，原式变成ax+by=m熟悉吧？此时，因为GCD(a,b)=1不一定成立，GCD(a,b) | m 也就不一定成立。所以应该先判 若 GCD(a,b) | m 不成立，则！！！方程无解！！！。否则，继续往下。解出(x,y)，将k1=x反代回（*），得到X。于是X就是这两个方程的一个特解，通解就是 X'=X+k*LCM(m1,m2)这个式子再一变形，得 X' mod LCM(m1,m2)=X这个方程一出来，说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。令 M=LCM(m1,m2)，R=r2-r1就可将合并后的方程记为 X mod M = R。然后，扩展到n个方程。用合并后的方程再来和其他的方程按这样的方式进行合并，最后就能只剩下一个方程 X mod M=R，其中 M=LCM(m1,m2,...,mn)。那么，X便是原模线性方程组的一个特解，通解为 X'=X+k*M。如果，要得到X的最小正整数解，就还是原来那个方法：X%=M;if (X<0) X+=M;

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <set>#include <map>#include <vector>#include <math.h>#include <string.h>#include <queue>#include <string>#include <stdlib.h>#define LL long long#define _LL __int64#define eps 1e-8using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int maxn = 10;_LL k;_LL M;_LL extend_gcd(_LL a,_LL b,_LL &x,_LL &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    else    {        _LL r = extend_gcd(b,a%b,x,y);        _LL t = x;        x = y;        y = t-a/b*y;        return r;    }}int main(){    _LL a1,m1,a2,m2,x,y,i,d;    while(scanf("%lld",&k)!= EOF)    {        bool flag = true;        scanf("%lld %lld",&m1,&a1);        for(i = 1; i < k; i++)        {            scanf("%lld %lld",&m2,&a2);            d = extend_gcd(m1,m2,x,y);            if((a2-a1)%d != 0)                flag = false;            _LL t = m2/d;            x *= (a2-a1)/d;            x = (x%t + t)%t;            //注意新的m1,a1是怎么得来的            a1 = x*m1+a1;            m1 = m1*m2/d;            a1 = (a1%m1+m1)%m1;        }        if(flag == true)            printf("%lld\n",a1);        else printf("-1\n");    }    return 0;}

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