矩阵的运算

§2  矩阵的运算

一、加法

设  ， 都是 矩阵，则 加法 定义为

显然，

①  ，② 

二、数乘

       设  是数， 是 矩阵，则 数乘 定义为

       显然

       ①  ， ②  ， ③ 

三、乘法

乘法运算比较复杂，首先看一个例子

设变量  到变量 的线性变换为

变量  到变量 的线性变换为

那么，变量  到变量 的线性变换应为

即

定义矩阵

 和

的乘积为

按以上方式定义的乘法具有实际意义。由此推广得到一般定义

       设  ， ，则乘法定义为

其中

 ，   

注 ：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；乘积矩阵的第  行，第 列元素为前一个矩阵的第 行元素与后一个矩阵的第 行元素对应相乘再相加。

例 ：设  ， ，则

 

一个必须注意的问题 ：

1．   若  ， ，则 成立，当 时， 不成立；

2．   即使  ， ，则 是 阶方阵，而 是 阶方阵；

3．   如果  ， 都是 阶方阵，例如 ， ，则 ，而 ；

综上所述，一般  （即矩阵乘法不满足交换率）。

但是下列性质显然成立：

①  ，②  ，

③  ，

几个运算结果：

1 ． 

2 ． 

3 ．若  为 矩阵， 是 阶单位阵，则 ；若 是 阶单位阵，则 。

4．   线性变换的矩阵表示：

设  ，

 ， ， ，

则

5．   线性方程组的矩阵表示：

 ，

 ， ，

则

矩阵的 幂：

        ， ， ， 。

例：证明 

证：用归纳法：  时，显然成立，假定 时成立，则 时

从而结论成立。

由于  是直角坐标旋转 角度变换的系数矩阵，故而 是旋转了 角度变换的系数矩阵。

四、转置

设  ，记

则称  是 的转置矩阵。

显然，

①  ，②  ，③  ，④ 

对称矩阵的定义：若矩阵  满足 （即 ），则称 是对称阵

例 ：设 是 矩阵，证明 是 阶对称阵， 是 阶对称阵。

例 ：设 ，且 ， 为 阶单位阵， ，

证明： ①  是对称阵，②  。

证 ： ，故 是对称阵。

 。

五、方阵的行列式

 为 阶方阵，其元素构成的 阶行列式称为方阵的行列式，记为  或 。

显然，

①  ，②  ，③  。

例 ：设

记

 ，

其中  是 的代数余子式， 称为 的伴随阵。

证明：  。

证：设 

设 

 。

例：设  为 （ ）阶实方阵，且 ， ，求 。

解：注意到

由  ，得 ，    ，

由于  ，故   。

六、共轭矩阵

 为复矩阵， 为 的共轭复数，则称 为 的共轭矩阵。

显然，

①  ，②  ，③  。