poj 2154 Color（polya计数 + 欧拉函数优化）

来源：互联网发布：java 社招经验编辑：程序博客网时间：2024/05/30 23:43

http://poj.org/problem?id=2154

大致题意：由n个珠子，n种颜色，组成一个项链。要求不同的项链数目，旋转后一样的属于同一种，结果模p。

n个珠子应该有n种旋转置换，每种置换的循环个数为gcd(i,n)。如果直接枚举i，显然不行。但是我们可以缩小枚举的数目。改为枚举每个循环节的长度L，那么相应的循环节数是n/L。所以我们只需求出每个L有多少个i满足gcd（i,n）= n/L，就得到了循环节数为n/L的个数。重点就是求出这样的i的个数。

令cnt = gcd（i,n） = n/L；

那么cnt | i，令i = cnt*t（0 <= t <= L）；

又 n = cnt * L ;

所以gcd(i,n) = gcd( cnt*t, cnt*L) = cnt，

满足上式的条件是 gcd(t,L) = 1。

而这样的t 有Eular(L)个。

因此循环节个数是n/L的置换个数有Eular(L)个。

参考博客：http://blog.csdn.net/tsaid/article/details/7366708

代码中求欧拉函数是基于素数筛的,素数只需筛到sqrt(1e9)即可。我在筛素数的同时递推的记录了sqrt(1e9)以内的Eular(n)，用phi[]表示。这样会快那么一点点。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <set>#include <map>#include <vector>#include <math.h>#include <string.h>#include <queue>#include <string>#include <stdlib.h>#define LL long long#define _LL __int64#define eps 1e-8#define PI acos(-1.0)using namespace std;const int maxn = 35000;const int INF = 0x3f3f3f3f;int n,p;int ans;int prime[maxn];int flag[maxn];int prime_num;int phi[maxn];int mod_exp(int a, int b, int c){int res = 1;a = a%c;while(b){if(b&1)res = (res*a)%c;a = (a*a)%c;b >>= 1;}return res;}//素数筛并记录maxn以内的Eular(n)，用phi[]表示void get_prime(){memset(flag,0,sizeof(flag));prime_num = 0;phi[1] = 1;for(int i = 2; i <= maxn; i++){if(!flag[i]){prime[++prime_num] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 1; j <= prime_num && i*prime[j] <= maxn; j++){flag[i*prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0)phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];else phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);}}}int Eular(int n){if(n < maxn)return phi[n] % p;//求大于maxn的Eular(n)int res = n;for(int i = 1; prime[i]*prime[i] <= n && i <= prime_num; i++){if(n % prime[i] == 0){res -= res/prime[i];while(n%prime[i] == 0)n = n/prime[i];}}if(n > 1)res -= res/n;return res%p;}int main(){int test;get_prime();scanf("%d",&test);while(test--){scanf("%d %d",&n,&p);ans = 0;for(int l = 1; l*l <= n; l++){if(l*l == n){ans = (ans + Eular(l)*mod_exp(n,l-1,p))%p;}else if(n%l == 0) //循环节长度为l，那么n/l也是循环节长度{ans = (ans + Eular(l)*mod_exp(n,n/l-1,p))%p;ans = (ans + Eular(n/l)*mod_exp(n,l-1,p))%p;}}printf("%d\n",ans);}return 0;}

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