图算法总结2（最短路径、最大流、关键路径）[没完成]

前言：图的算法面试考的不多，主要是基本慨念和思想，题目也基本是在基本算法有所变化，所以，个人觉得把基本算法熟练掌握即可。

1：最短路径（前三个基于贪心算法，最后一个基于DP）

看过算法导论的童鞋都晓得，最短路径最重要的一个函数就是Relax()了，这是基于贪心算法的最短路径算法的基础。

见上面的示意图，设原点为s，每个vertex的值为每个vertex距离原点s的当前最短距离，在图(a)中，此时u已经求得了当前最短距离，

而对v进行Relax，没Relax之前，s到v的距离为d[v]==9，,s到u的距离d[u]==5，du[u]+w(u,v) == 7 < d[v]，这说明v到s的路径不是最短路径，

根据贪心算法，我们取当前最优方案，将s~v的路径设为s~u->v，并将d[v] = 7。同样见图(b)，此时由于d[u]+w(u,v) ==7 > d[v] ==6， 

so不需要更新从s到v的路径。伪代码如下图：

另外每个算法都出现的一个函数是

1.1：The Bellman-Ford algorithm O(VE)

这个算法是最基础的算法，边的权值可正可负，如果有负权边则输出错误提示

1.2：Shortest Path Faster Algorithm  O(E)

这个算法百度百科里有（http://baike.baidu.com/view/4700690.htm?from_id=11018124&type=syn&fromtitle=SPFA&fr=aladdin）

使用条件：当给定的图存在负权边，Dijkstr不适用，而Bellman-Ford复杂度过高。

负环检测：如果某个点进入队列的次数超过了n次，则可以断定存在负权边。

1.3：Single-sourceshortest paths in DAG  O(V+E)

这个算法仅适用于有向无环图，可以用拓扑排序来检测

这个算法还可以用来求关键路径（最长路径）：将权值取反（不必担心负权环），然后就最短路径即可。

1.4：Dijkstra’sAlgorithm O(V3)

1.5：Floyd-Warshall Algorithm(DP)

思想：设顶点编号(0,1,2…n-1)，DP[i][j][k]为i到j，经过结点的编号至多为k（0 ≤ k ≤ n-1）的最短路径。

     则当知DP[i][j][k] 时求DP[i][j][k+1]，有两种情况（选择较小值）：
    1）DP[i][j][k+1]所表征的路径经过结点k+1，此时DP[i][j][k+1] = DP[i][k+1][k] + DP[k+1][j][k]；
        2）DP[i][j][k+1]所表征的路径不经过结点k+1，此时DP[i][j][k+1] = DP[i][j][k]；

上面的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度也为O(n^3)，在实现的时候，我们可以将空间复杂度减为O(n^2)。

1.6：最短路径例题

1）：给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s终点t，要求输出起点到终点的

最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。（九度-1008-最短路径问题）

答：这道题还是求最短路径，只不过增加了一个附加条件最小花费，我们可以在relax的时候，如果出现多条想等到当前最短路径，

则选择那条最小花费的路径来。大家可能对这边还是不太了解，我们用一个示意图来讲一下。

如下图所示，设某一节点v的前序节点为u1,u2,,,,uk.现在对节点v进行relax即：Relax(u1,v,w1), Relax(u2,v,w2)....Relax(uk,v,wk)，

在relax的时候，可能会出现d[ui]+wi == d[uj]+wj < d[v]，这个时候就需要看 cost[ui]+c(ui,v) 和cost[uj]+c(uj,v)哪个小了。

不知讲清楚没。。

2）：有n个长为m+1的字符串，如果某个字符串的最后m个字符与某个字符串的前m个字符匹配，则两个字符串可以联接，

    问这n个字符串最多可以连成一个多长的字符串，如果出现循环，则返回错误。

答：这道题很容易转化为图的最长路径问题，转化为图后，先进行拓扑排序，检查是否存在环，若存在，则返回错误，否则，

求每个节点之间的最大路径（权值取反即可转化为最小路径问题）。

3）：hdu 2544：最短路径

2：最大流

关于最大流问题，本人只了解了最大流的概念及求解方法。

最大流有两个特性，第一个是容量限制，第二个是流守恒性。

如果有多个起始点和多个终点，可按下图的方式来转换成单个起始点和单个终点问题。

想要明白怎么求最大流，先要讲解三个概念。

1）概念一：残留网络（Residual Networks），对某一流，用下面的公式来求得相应的图即为残留网络。

2）概念二：增广路径（Augmenting Paths），在残留网络中，从起始点s到终点t的一条路径即为增广路径，我们可以用DFS或BFS来求。

3）概念三：流网络的割（Cuts of flow networks），所谓流网络的割，即将流网络的节点分为两个集合S和T，

例如对于下面的图，c(S,T) = c(v1,v3) + c(v2,v4) = 12+14 = 26.

最大流最小割定理（Max-flow min-cut Theorem）

根据最大流最小割定理，我们可以得到Ford-Fulkerson方法。其中求增广路径，只要存在，随便一条就可以。

最大流例题

1）在保证流量最大的前提下，所需的费用最小，这就是最小费用最大流问题（费用为流量的单位费用）

答：只需每次求增广路径时，将单位费用作为边的权值，求最短路径即可。

2）UVa 10330- Power Transmission

http://www.cnblogs.com/fzf123/p/3194365.html
3）Poj1273-Drainage Ditches 
http://snprintf.net/archives/291
4）BZOJ 1001-狼抓兔子 
http://www.cnblogs.com/zhj5chengfeng/p/3273531.html
5）poj2516-经典最小费用最大流
http://blog.csdn.net/weixinding/article/details/7218870

3：关键路径 O(n+e)

提到关键路径，首先来区分两个概念：AOV(Activity On Vertex Network)网和AOE(Activity On Edge)网。

与AOE有关的研究问题
1）完成整个工程至少需要多少时间?
2）哪些活动是影响工程进度(费用)的关键?

大体思路是先求出事件的最早发生时间（ve(i)）和最晚发生时间（vl(i)），然后求出活动的最早发生时间（e(i)）和最晚发生时间（l(i)），

对某活动，若e(i) == l(i)，则此活动为关键活动，最后，由关键活动组成的路径为关键路径，而关键路径上的事件为关键事件。

最后，附送一道关于图的附加题

CloneGraph(https://oj.leetcode.com/problems/clone-graph/)