红黑树

1、红黑树

红黑树是AVL树的一种变种，对红黑树的操作在最坏的情况下花费的时间是O(logN)，红黑树主要有以下几个性质：

(1)每一个节点或者是红色，或者是黑色。

(2)根是黑色的。

(3)所有NULL结点称为叶子节点，且认为是黑色的。

(4)如果一个节点是红色的，那么它的子节点必须是黑色的。

(5)从一个节点到一个NULL指针的每一条路径必须包含相同数目的黑色节点。

2、自底向上插入操作

由于性质的约束，插入点不能为黑节点，应插入红节点。因为你插入黑节点将破坏性质5，所以每次插入的点都是红结点，但是若他的父节点也为红，就破坏了性质4。这个时候需要做一些旋转和一些节点的变色。另为叙述方便我们给要插入的节点标为N（红色），父节点为P，祖父节点为G，叔节点为U，下边将一一列出所有插入时遇到的情况。

情况1：

该树为空树，直接插入根结点的位置，违反性质2，把节点颜色红色改为黑色即可。

情况2：

插入节点N的父节点P为黑色，不违反任何性质，无需做任何修改。

情况3：

         N为红，P为红（祖节点一定存在，且为黑，下边同理），U也为红，这里不论P是G的左孩子，还是右孩子；不论N是P的左孩子，还是右孩子。

图1  N、P、U为红 G为黑

        操作：如图把P、U改为黑色，G改为红色，未结束。N、P都为红，违反性质4；若把P改为黑，符合性质4，显然左边多了一个黑节点，违反性质5；所以我们把G，U都改为相反色，这样一来通过G的路径的黑节点数目没变，即符合4、5，但是G变红了，若G的父节点又是红的不就有违反了4，的确是这样，所以经过上边操作后未结束，需把G作为起始点，即把G看做一个插入的红节点继续向上检索。属于哪种情况，按那种情况操作。要么中间就结束，要么知道根结点（此时根结点变红，根结点向上检索，那就没有了，只好把P变为黑色）。

情况4：

N为红，P为红，U为黑，P为G的左孩子，N为P的左孩子（或者P为G的右孩子，N为P的右孩子）。

图2  左左情况

操作：如图P、G变色，P、G变换即左左单旋（或者右右单旋），结束。要知道经过P、G变换（旋转），变换后P的位置就是当年G的位置，所以红P变为黑，而黑G变为红都是为了不违反性质5，而维持到达叶节点所包含的黑节点的数目不变。右右情况和左左情况类似，如下所示。

图3  右右情况

情况5：

N为红，P为红，U为黑，P为G的左孩子，N为P的右孩子（或者P为G的右孩子，N为P的左孩子；反正两方向相反）。

图4 左右情况

操作：需要进行两次变换（旋转），首先P、N变换，颜色不变；然后就变成了情形4的情况，按照情况4操作，即结束。由于P、N都为红，经变换，不违反性质5；然后就变成4的情形，此时G与G现在的左孩子变色，并变换，结束。右左情况类似，如下所示。

图5 右左情况

未完，待续……