组合论基础课(Trees)

最近在看J. H. van Lint和R. M. Wilson写的A Course in Combinatorics. 这本书每个章节都会介绍一个领域，然后把其中一些non-trivial的定理介绍出来，挺好玩的。这些结论让我彻底明白之前很多模模糊糊的概念。

Trees

定理2.1 对于一个n个节点的图，总共有n^(n-2)个不同的"标签"树。

原文中的“labeled”我不知道如何翻译最好，就直译成“标签”了。说是标签树，那是为了防止算上“同质”树。作者给了三个证明，其中第一个证明最有趣，它的思想就是：如果你要数一个很复杂的空间A的时候，最好就把它映射到一个简单的空间B，你能搞明白B，也就能搞明白A了。

下一个定理是关于最小生成树的。我们考虑对一个图G的每条边都给一个权重c，i.e. 对于边 e_i, c(e_i) 就是它的“cost”，如何找一个生成树T，使得它的cost最小？这个问题是网络里面的经典问题。结果就是“贪心算法”， 就足以完成这个任务。

最小生成树的贪心算法：给定一个连通图G， 和一个待选的边的集合S。一开始S = {}，即是空的。重复以下步骤：当S = {e_1, e_2, ..., e_k}的时候，从E - S里面选一个边e_{k+1},使得e_{k+1}连接了两个仍是分离的component，而且e_{k+1}是所有符合上述条件里面的边中cost最小的。

上述算法直观理解很简单，就是一开始有n个节点，它们一条边没有，然后你就一条一条边加回去。由于只有n个节点，一个树只有n-1条边，所以你只需做n-1次操作。每次操作就是把一个孤立的点和某一个component连接起来，选择哪个孤立点呢？就是选择cost最小的边的那个孤立点。 下面的定理2.2就是证明，这个贪心算法找出来的生成树真的是最小生成树

定理2.2 贪心算法找出来的生成树是最小生成树。

证明：对于任意一个生成树T，我们把{a_1, a_2, ..., a_n-1}记为它对应的边的集合，并且按照cost从小到大排序，即是c(a_1) <= c(a_2) <=...<=c(a_{n-1}). 然后对于用贪心算法找出来的生成树我们记为T_0, 以及对应的边的集合{e_1, e_2, ..., e_{n-1}}. 实际上，有一个更强的结论就是c(e_i) <= c(a_i), 就是说，T_0不光在cost的总和赢了，而且每一条边它也赢了。现在来证明c(e_i) <= c(a_i).

如果c(e_i) > c(a_i) >= c(a_{i-1}) >= ... >= c(a_1), 那么贪心算法里面，当做第i次选择的时候，由于这些{a_1, a_2,...,a_i}没有被选上，它们一定是已经各自在某些component里面。当选完e_{i-1}的时候，component的个数为n-i+1, 而现在{a_1,...,a_i}又在这个n-i+1里面，显然是不可能的。为什么呢？因为{a_1, ..., a_i}总共有i条边，那么一定只会造成n-i个component。 证毕。

接下来的内容是关于深度优先和广度优先搜索。以前一直以为深度和广度优先搜索一个树，无非就是写代码上的不同实现方式而已，或者根据一些实际情况用不同的搜索策略，能找的更快点。现在才知道这两个东西是证明许多图的定理的神器。

深度优先搜索法找出来的生成树：一开始随便选一个节点v_0, 然后重复以下步骤：当v_0, v_1,..., v_k以及对应的数T_k被选好了之后，让 m <= k，作为满足v_m连到某个不在T_k的节点的条件中最大的那个m。说白了就是，你要找下一个节点加入当前的T_k，找谁呢？谁有连接到“”外部“节点并且”序号最大“的，就选它，然后把它连的那个”外部节点“作为v_{k+1}，而对应的树也变成了T_{k+1}。直到总共找完n个节点为止。

命题2.3 如果x和y在G中是相邻的，那么在任意的深度优先搜索树中，x将会是y的子孙节点或者反过来，y是x的子孙节点。

命题2.4 如果（x, y）是T（G的生成树）的一条边，而且不是”桥“，假设x是y的父节点，那么一定存在一条边（a, b）在G上而不在T上，满足a是y的子孙，b是x的祖先。

Notes: 我们说一个节点x既是x的祖先，也是x的子孙。“桥”是指一条边e，当移除这条边的时候，图G就不连通了。

最后一个定理是关于强连接的有向图。一个有向图D可以从相应的无向图G，在每条边上给定一个方向而产生。

定理2.5 如果G是一个有限的连通图，而且没有“桥”。 那么一定存在一个有向图D由G在每条边上指定方向后产生，并且满足对于任意的两个节点x,y，它们之间存在一个路径。

证明：用深度优先搜索方法找到一个生成树T，对于G上的一条边(v_i, v_j)， i < j 根据T的序号，如果(v_i, v_j) 属于T，那么这条边的方向就是v_i --> v_j; 否则，v_j --> v_i. 现在来证明这样的标法能满足定理的条件。实际上，对于v_0, v_i，一定存在一条路径过去，其中v_0是T的根节点。因为我们只要选择那些在T上的边就好了。现在只需证明，v_i能有一条路径走回到v_0那里去。命题2.4表明，一定存在某个在G上而不在T上的边（a, b），使得v_i能走到a那里去（a是v_i的子孙节点），然后a又能走到b那里去，最后b能走到v_i的某个祖宗节点v_k. 从v_k出发，重复这个过程，直到走到v_0为止。证毕。