[leetcode] Maximal Rectangle

Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

题目就是给一个矩阵，找一个全是一的最大子矩阵。

Code:

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1. class Solution {  
2. public:  
3.     int largestRectangleArea(int* height, int length) {  
4.         stack<int> stk;  
5.         int i = 0;  
6.         int maxArea = 0;  
7.         while(i < length){  
8.             if(stk.empty() || height[stk.top()] <= height[i]){  
9.                 stk.push(i++);  
10.             }else {  
11.                 int t = stk.top();  
12.                 stk.pop();  
13.                 int area = height[t] * (stk.empty() ? i : i - stk.top() - 1);  
14.                 maxArea = maxArea > area ? maxArea : area;  
15.             }  
16.         }  
17.         return maxArea;  
18.     }  
19.   
20. int maximalRectangle(vector<vector<char> > &matrix) {  
21.         // Start typing your C/C++ solution below  
22.         // DO NOT write int main() function  
23.         int m = matrix.size();  
24.         if(m == 0)return 0;  
25.         int n = matrix[0].size();  
26.         if(n == 0)return 0;  
27.   
28.         int** dp = new int*[m];  
29.         for(int i = 0; i < m; ++i){  
30.             dp[i] = new int[n+1];  
31.             memset(dp[i], 0, sizeof(int)*(n+1));  
32.         }  
33.           
34.   
35.         for(int j = 0; j < n; ++j)  
36.             if(matrix[0][j] == '1')dp[0][j] = 1;  
37.   
38.         for(int j = 0; j < n; ++j)  
39.             for(int i = 1; i < m; ++i)  
40.                 if(matrix[i][j] == '1') dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1;  
41.   
42.         int maxarea = 0;  
43.         for(int i = 0; i < m; ++i){  
44.             int tmp = largestRectangleArea(dp[i],n+1);  
45.             if(tmp > maxarea)  
46.                 maxarea = tmp;  
47.         }  
48.   
49.         for(int i = 0; i < m; ++i)  
50.             delete[] dp[i];  
51.         delete[] dp;  
52.   
53.         return maxarea;  
54.     }  
55. };  

例如矩阵是下图这样的，结果应该是图中红色区域的面积：

一般人拿到这个题目，除非做过类似的，很难一眼找出一个方法来，更别说找一个比较优化的方法了。

首先一个难点就是，你怎么判断某个区域就是一个矩形呢？

其次，以何种方式来遍历这个2D的matrix呢？

一般来说，对这种“棋盘式”的题目，像什么Queen啦，象棋啦，数独啦，如果没有比较明显的遍历方式，可以采用一行一行地遍历。

然后，当遍历到(i, j)的时候，该做什么样的事情呢？想想，嗯，那我可不可以简单看看，以(i,j)为矩形左上角，能不能形成一个矩形，能不能形成多个矩形？那形成的矩形中，我们能不能找一个最大的呢？

首先，如果(i, j)是0，那肯定没法是矩形了。

如果是1，那么我们怎么找以它为左上角的矩形呢？呼唤画面感！

图中圈圈表示左上角的1，那么矩形的可能性是。。。太多啦，怎么数呢？

我们可以试探地从左上角的1所在的列开始，往下数数，然后呢，比如在第一行，例如是蓝色的那个矩形，我们看看在列上，它延伸了多远，这个面积是可以算出来的。然后继续，第二行，例如是那个红色的矩形，再看它延伸到多远，哦，我们知道，比第一行近一些，我们也可以用当前离第一行的行数，乘以延伸的距离，得到当前行表示的矩形面积。但是到了第一个虚线的地方，它远远超过了上面的其他所有行延伸的距离了，注意它的上方都是空心的哦，所以，我们遇到这种情况，计算当前行和左上角1围成的面积的时候，只能取所有前面最小的延伸距离乘以当前离第一行的行数。其实，这对所有情况都是这样的，是吧？于是，我们不是就有方法遍历这些所有的矩形了嘛。

但是，当我们在数这个矩形的时候越来越像leetcode_question_85 Largest Rectangle in Histogram这道题了，不是吗？我们讨论了柱状图的最大矩形面积，那可以O(n)的，学以致用呀！btw，leetcode的这两题也是挨一块儿的，用心良苦。。。。

上面的矩阵就成这样了：

每一行都是一次柱状图的最大矩形面积了。dp[i][j]就是当前的第j列到第i行连续1的个数。

leetcode的讨论组还给出了一个比较难理解的方法。。。