C语言版的线性回归分析函数

        前几天，清理出一些十年以前DOS下的程序及代码，看来目前也没什么用了，想打个包刻在光碟上，却发现有些代码现在可能还能起作用，其中就有计算一元回归和多元回归的代码，一看代码文件时间，居然是1993年的，于是稍作整理，存放在这，分析虽不十分完整，但一般应用是没问题的，最起码，可提供给那些刚学C的学生们参考。

先看看一元线性回归函数代码： 

// 求线性回归方程：Y = a + bx
// dada[rows*2]数组：X, Y；rows：数据行数；a, b：返回回归系数
// SquarePoor[4]：返回方差分析指标: 回归平方和，剩余平方和，回归平方差，剩余平方差
// 返回值：0求解成功，-1错误
int LinearRegression(double *data, int rows, double *a, double *b, double *SquarePoor)
{
    int m;
    double *p, Lxx = 0.0, Lxy = 0.0, xa = 0.0, ya = 0.0;
    if (data == 0 || a == 0 || b == 0 || rows < 1)
        return -1;
    for (p = data, m = 0; m < rows; m ++)
    {
        xa += *p ++;
        ya += *p ++;
    }
    xa /= rows;                                     // X平均值
    ya /= rows;                                     // Y平均值
    for (p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += 2)
    {
        Lxx += ((*p - xa) * (*p - xa));             // Lxx = Sum((X - Xa)平方)
        Lxy += ((*p - xa) * (*(p + 1) - ya));       // Lxy = Sum((X - Xa)(Y - Ya))
    }
    *b = Lxy / Lxx;                                 // b = Lxy / Lxx
    *a = ya - *b * xa;                              // a = Ya - b*Xa
    if (SquarePoor == 0)
        return 0;
    // 方差分析
    SquarePoor[0] = SquarePoor[1] = 0.0;
    for (p = data, m = 0; m < rows; m ++, p ++)
    {
        Lxy = *a + *b * *p ++;
        SquarePoor[0] += ((Lxy - ya) * (Lxy - ya)); // U(回归平方和)
        SquarePoor[1] += ((*p - Lxy) * (*p - Lxy)); // Q(剩余平方和)
    }
    SquarePoor[2] = SquarePoor[0];                  // 回归方差
    SquarePoor[3] = SquarePoor[1] / (rows - 2);     // 剩余方差
    return 0;
}

 

为了理解代码，把几个与代码有关的公式写在下面（回归理论和公式推导就免了，网上搜索到处是，下面的公式图片也是网上搜的，有些公式图形网上没找到或者不合适，可参见后面多元回归中的公式）：

1、回归方程式：

2、回归系数：   

   其中：

         

          

3、回归平方和：

4、剩余平方和：

实例计算：

double data1[12][2] = {
//    X      Y
    {187.1, 25.4},
    {179.5, 22.8},
    {157.0, 20.6},
    {197.0, 21.8},
    {239.4, 32.4},
    {217.8, 24.4},
    {227.1, 29.3},
    {233.4, 27.9},
    {242.0, 27.8},
    {251.9, 34.2},
    {230.0, 29.2},
    {271.8, 30.0}
};

void Display(double *dat, double *Answer, double *SquarePoor, int rows, int cols)
{
    double v, *p;
    int i, j;
    printf("回归方程式:    Y = %.5lf", Answer[0]);
    for (i = 1; i < cols; i ++)
        printf(" + %.5lf*X%d", Answer[i], i);
    printf(" ");
    printf("回归显著性检验: ");
    printf("回归平方和：%12.4lf  回归方差：%12.4lf ", SquarePoor[0], SquarePoor[2]);
    printf("剩余平方和：%12.4lf  剩余方差：%12.4lf ", SquarePoor[1], SquarePoor[3]);
    printf("离差平方和：%12.4lf  标准误差：%12.4lf ", SquarePoor[0] + SquarePoor[1], sqrt(SquarePoor[3]));
    printf("F   检  验：%12.4lf  相关系数：%12.4lf ", SquarePoor[2] /SquarePoor[3],
           sqrt(SquarePoor[0] / (SquarePoor[0] + SquarePoor[1])));
    printf("剩余分析: ");
    printf("      观察值      估计值      剩余值    剩余平方 ");
    for (i = 0, p = dat; i < rows; i ++, p ++)
    {
        v = Answer[0];
        for (j = 1; j < cols; j ++, p ++)
            v += *p * Answer[j];
        printf("%12.2lf%12.2lf%12.2lf%12.2lf ", *p, v, *p - v, (*p - v) * (*p - v));
    }
    system("pause");
}

int main()
{
    double Answer[2], SquarePoor[4];
    if (LinearRegression((double*)data1, 12, &Answer[0], &Answer[1], SquarePoor) == 0)
        Display((double*)data1, Answer, SquarePoor, 12, 2);
    return 0;
}

    运行结果：

 

上面的函数和例子程序不仅计算了回归方程式，还计算了显著性检验指标，例如F检验指标，我们可以在统计F分布表上查到F0.01(1,10)=10.04（注：括号里的1,10分别为回归平方和和剩余平方和所拥有的自由度），小于计算的F检验值25.94，可以认为该回归例子高度显著。

如果使用图形界面，可以根据原始数据和计算结果绘制各种图表，如散点图、趋势图、控制图等。很多非线性方程可以借助数学计算，转化为直线方程进行回归分析。

同一元线性回归相比，多元线性回归分析代码可就复杂多了，必须求解线性方程，因此本代码中包含一个可独立使用的线性方程求解函数：

 

void FreeData(double **dat, double *d, int count)
{
    int i, j;
    free(d);
    for (i = 0; i < count; i ++)
        free(dat[i]);
    free(dat);
}
// 解线性方程。data[count*(count+1)]矩阵数组；count：方程元数；
// Answer[count]：求解数组 。返回：0求解成功，-1无解或者无穷解
int LinearEquations(double *data, int count, double *Answer)
{
    int j, m, n;
    double tmp, **dat, *d = data;
    dat = (double**)malloc(count * sizeof(double*));
    for (m = 0; m < count; m ++, d += (count + 1))
    {
        dat[m] = (double*)malloc((count + 1) * sizeof(double));
        memcpy(dat[m], d, (count + 1) * sizeof(double));
    }
    d = (double*)malloc((count + 1) * sizeof(double));
    for (m = 0; m < count - 1; m ++)
    {
        // 如果主对角线元素为0，行交换
        for (n = m + 1; n < count && dat[m][m] == 0.0; n ++)
        {
            if ( dat[n][m] != 0.0)
            {
                memcpy(d, dat[m], (count + 1) * sizeof(double));
                memcpy(dat[m], dat[n], (count + 1) * sizeof(double));
                memcpy(dat[n], d, (count + 1) * sizeof(double));
            }
        }
        // 行交换后，主对角线元素仍然为0，无解，返回-1
        if (dat[m][m] == 0.0)
        {
            FreeData(dat, d, count);
            return -1;
        }
        // 消元
        for (n = m + 1; n < count; n ++)
        {
            tmp = dat[n][m] / dat[m][m];
            for (j = m; j <= count; j ++)
                dat[n][j] -= tmp * dat[m][j];
        }
    }
    for (j = 0; j < count; j ++)
        d[j] = 0.0;
    // 求得count - 1的元
    Answer[count - 1] = dat[count - 1][count] / dat[count - 1][count - 1];
    // 逐行代入求各元
    for (m = count - 2; m >= 0; m --)
    {
        for (j = count - 1; j > m; j --)
            d[m] += Answer[j] * dat[m][j];
        Answer[m] = (dat[m][count] - d[m]) / dat[m][m];
    }
    FreeData(dat, d, count);
    return 0;
}

// 求多元回归方程：Y = B0 + B1X1 + B2X2 + ...BnXn
// data[rows*cols]二维数组；X1i,X2i,...Xni,Yi (i=0 to rows-1)
// rows：数据行数；cols数据列数；Answer[cols]：返回回归系数数组(B0,B1...Bn)
// SquarePoor[4]：返回方差分析指标: 回归平方和，剩余平方和，回归平方差，剩余平方差
// 返回值：0求解成功，-1错误
int MultipleRegression(double *data, int rows, int cols, double *Answer, double *SquarePoor)
{
    int m, n, i, count = cols - 1;
    double *dat, *p, a, b;
    if (data == 0 || Answer == 0 || rows < 2 || cols < 2)
        return -1;
    dat = (double*)malloc(cols * (cols + 1) * sizeof(double));
    dat[0] = (double)rows;
    for (n = 0; n < count; n ++)                     // n = 0 to cols - 2
    {
        a = b = 0.0;
        for (p = data + n, m = 0; m < rows; m ++, p += cols)
        {
            a += *p;
            b += (*p * *p);
        }
        dat[n + 1] = a;                              // dat[0, n+1] = Sum(Xn)
        dat[(n + 1) * (cols + 1)] = a;               // dat[n+1, 0] = Sum(Xn)
        dat[(n + 1) * (cols + 1) + n + 1] = b;       // dat[n+1,n+1] = Sum(Xn * Xn)
        for (i = n + 1; i < count; i ++)             // i = n+1 to cols - 2
        {
            for (a = 0.0, p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += cols)
                a += (p[n] * p[i]);
            dat[(n + 1) * (cols + 1) + i + 1] = a;   // dat[n+1, i+1] = Sum(Xn * Xi)
            dat[(i + 1) * (cols + 1) + n + 1] = a;   // dat[i+1, n+1] = Sum(Xn * Xi)
        }
    }
    for (b = 0.0, m = 0, p = data + n; m < rows; m ++, p += cols)
        b += *p;
    dat[cols] = b;                                   // dat[0, cols] = Sum(Y)
    for (n = 0; n < count; n ++)
    {
        for (a = 0.0, p = data, m = 0; m < rows; m ++, p += cols)
            a += (p[n] * p[count]);
        dat[(n + 1) * (cols + 1) + cols] = a;        // dat[n+1, cols] = Sum(Xn * Y)
    }
    n = LinearEquations(dat, cols, Answer);          // 计算方程式
    // 方差分析
    if (n == 0 && SquarePoor)
    {
        b = b / rows;                                // b = Y的平均值
        SquarePoor[0] = SquarePoor[1] = 0.0;
        p = data;
        for (m = 0; m < rows; m ++, p ++)
        {
            for (i = 1, a = Answer[0]; i < cols; i ++, p ++)
                a += (*p * Answer[i]);               // a = Ym的估计值
            SquarePoor[0] += ((a - b) * (a - b));    // U(回归平方和)
            SquarePoor[1] += ((*p - a) * (*p - a));  // Q(剩余平方和)(*p = Ym)
        }
        SquarePoor[2] = SquarePoor[0] / count;       // 回归方差

  if (rows - cols > 0.0)
    SquarePoor[3] = SquarePoor[1] / (rows - cols); // 剩余方差
  else
    SquarePoor[3] = 0.0;

    }
    free(dat);
    return n;
}

为了理解代码，同样贴几个主要公式在下面，其中回归平方和和剩余平方和公式和一元回归相同：

1、回归方程式：,

2、回归系数方程组：

　　　　

3、F检验：

4、相关系数：，其中，Syy是离差平方和（回归平方和与剩余平方和之和）。该公式其实就是U/(U+Q)的平方根（没找到这个公式的图）。

5、回归方差：U / m，m为回归方程式中自变量的个数（没找到图）。

6、剩余方差：Q / (n - m - 1)，n为观察数据的样本数，m同上（没找到图）。

7、标准误差：也叫标准误，就是剩余方差的平方根（没找到图）。

下面是一个多元回归的例子：

double data[15][5] = {
//   X1   X2    X3   X4    Y
  { 316, 1536, 874, 981, 3894 },
  { 385, 1771, 777, 1386, 4628 },
  { 299, 1565, 678, 1672, 4569 },
  { 326, 1970, 785, 1864, 5340 },
  { 441, 1890, 785, 2143, 5449 },
  { 460, 2050, 709, 2176, 5599 },
  { 470, 1873, 673, 1769, 5010 },
  { 504, 1955, 793, 2207, 5694 },
  { 348, 2016, 968, 2251, 5792 },
  { 400, 2199, 944, 2390, 6126 },
  { 496, 1328, 749, 2287, 5025 },
  { 497, 1920, 952, 2388, 5924 },
  { 533, 1400, 1452, 2093, 5657 },
  { 506, 1612, 1587, 2083, 6019 },
  { 458, 1613, 1485, 2390, 6141 },
};

void Display(double *dat, double *Answer, double *SquarePoor, int rows, int cols)
{
    double v, *p;
    int i, j;
    printf("回归方程式:    Y = %.5lf", Answer[0]);
    for (i = 1; i < cols; i ++)
        printf(" + %.5lf*X%d", Answer[i], i);
    printf(" ");
    printf("回归显著性检验: ");
    printf("回归平方和：%12.4lf  回归方差：%12.4lf ", SquarePoor[0], SquarePoor[2]);
    printf("剩余平方和：%12.4lf  剩余方差：%12.4lf ", SquarePoor[1], SquarePoor[3]);
    printf("离差平方和：%12.4lf  标准误差：%12.4lf ", SquarePoor[0] + SquarePoor[1], sqrt(SquarePoor[3]));
    printf("F   检  验：%12.4lf  相关系数：%12.4lf ", SquarePoor[2] / SquarePoor[3],
           sqrt(SquarePoor[0] / (SquarePoor[0] + SquarePoor[1])));
    printf("剩余分析: ");
    printf("      观察值      估计值      剩余值    剩余平方 ");
    for (i = 0, p = dat; i < rows; i ++, p ++)
    {
        v = Answer[0];
        for (j = 1; j < cols; j ++, p ++)
            v += *p * Answer[j];
        printf("%12.2lf%12.2lf%12.2lf%12.2lf ", *p, v, *p - v, (*p - v) * (*p - v));
    }
    system("pause");
}

int main()
{
    double Answer[5], SquarePoor[4];
    if (MultipleRegression((double*)data, 15, 5, Answer, SquarePoor) == 0)
        Display((double*)data, Answer, SquarePoor, 15, 5);
    return 0;
}

    运行结果见下图，同上面，查F分布表，F检验远远大于F0.005(4,10)的7.34，可以说是极度回归显著。

如果要根据回归方程进行预测和控制，还应该计算很多指标，如偏相关指标，t分布检验指标等，不过，本文只是介绍2个函数，并不是完整的回归分析程序，因此没必要计算那些指标。

其实，一元线性回归是多元线性回归的一个特例，完全可以使用同一个函数，如前面的例子：

if (MultipleRegression((double*)data1, 12, 2, Answer, SquarePoor) == 0)
        Display((double*)data, Answer, SquarePoor, 12, 2);

其运行结果是一样的，可能以前我为了DOS下的运行速度，单独写了一个函数，因为毕竟多元回归分析很少用到，而一元回归是经常使用的。

本文到此就该结束了，本来只是介绍以前的几个C函数，却介绍起统计知识来了，不过，如果谁想使用这些函数，完全不懂有关知识是不行的，相信大多数人应该能够看懂，毕竟大学生以上学历的人居多，比我的水平高多了。什么？你问我懂不懂？呵呵，不瞒你说，我的主业就是统计，而且统计师职务已经有20年，也就是文革后第一批评定的，而且第一批全国自学考试统计大专毕业，编程序只是我的业余爱好，不过我退养休息了近10年，也忘得差不多了，但是还是能看懂这些简单的东东。

补记：应一些朋友要求，《Delphi版的线性回归分析》已经发布。（2007.11.26）