CodeforcesRound#253(Div2) D Andrey and Problem

首先将数组a从大到小排序，因为直觉上我们容易yy出a[i]越大越容易得到1，事实上也确实是对的，具体证明如下

证明1：对于a[n],n>=1,从中取任意两个，获得1的概率一定小于50%。

因为sum（a）一定等于1，所以对于n>=1，a[n]<0.5。

然后不妨设为m、n，且m>=n。

那么获得1的概率为（1-m）*n+（1-n）*m=n+m-2mn<=2m-2m^2=2(1-m)m=2*(1/2-(m-1/2))*(1/2+m-1/2)=2*(1/4-(m-1/2)^2)<0.5

这样我们可以进一步得出，对于a[n],n>=1,从中取任意个，获得1的概率一定小于50%。

证明2：对于a[n]中的元素a，b，c，且a>b>c，选择两个时，一定有a优于c。

选择a时，（1-a）b+a（1-b）

选择c时，（1-c）b+c（1-b）

作差得到（a-c）*（1-2b） ,b一定小于0.5，a一定大于c，所以一定有a优于c。

b可以替换为不包含a[0]的任意组合下获得1的概率。可以发现证明2仍然成立。

接下来的证明就比较简单了，对于选择N个数使得最容易得到1，我们可以始终把概率最小的一项替换为概率大的。最终就能够得到选择前N个概率得到1的可能性就是选择N个概率中得到1的可能性中最大的。

有了这个结论然后只要暴力就好了，或者dp也可以，用二维数组，dp[i][j]表示选择i个概率时得到j的可能性，这题j只要0或1。

有状态转移方程如下

f[i][0]=f[i-1][0]*(1-a[i])    

f[i][1]=f[i-1][0]*a[i]+f[i-1][1]*(1-a[i])

最后是一段ac的代码

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;bool cmp(double a, double b){return a>b;}int main(){int n;double a[105], sum, MAX;scanf("%d", &n);for (int i = 0; i<n; i++)scanf("%lf", &a[i]);sort(a, a + n, cmp);MAX = 0;for (int i = 1; i <= n; i++){sum = 0;for (int j = 0; j<i; j++){double temp = a[j];for (int k = 0; k<i; k++){if (j != k)temp*= 1 - a[k];}sum += temp;}MAX = max(sum, MAX);}printf("%.12lf\n", MAX);}