多变量线性回归 原理

week 2 在 week 1 的基础上，将变量扩充到≥2的情况，整体比较简单。

多变量的概念

也是一个预测房价的例子，但不同的是，影响房价的因素不止是房子的大小，还引入卧室数量(number of bedrooms)，走廊数量(number of floors)，房子年龄(years)，共4个变量。可以用一个向量的形式来表示训练集中的每个变量(feature)

假设函数可以改写为这样的形式：（因为这里讨论的是线性模型，所以每个变量对结果y的影响都是线性的）

为了表示方便，令x0=1，这样就可以将假设函数h写成矩阵表示的形式

多变量模型的梯度下降法

在week 1的课程中，代价函数可以表示为θ0和θ1的函数形式。多变量模型中，θi的个数增加，这里可以把所有的θ看成一个向量θ，将Week 1的公式写成向量形式。梯度下降法的表示类似，只是θ的个数变多。迭代时同样要注意simultaneously，一定要同时更新所有的θ

变量缩放

为什么要对features做scaling？特征量缩放

每个feature的范围不一样，比如图中这个例子。我们暂时忽略掉θ0的影响，只看θ1和θ2和代价函数J的关系。x1的范围是0~2000，x2的范围是1~5，所以等值线图画出来就会是一个巨大的椭圆，如果x1和x2的范围差距更远的话，每条等值线的距离就会很大，这样收敛的速度会变慢。而接近圆形的等值线图到达中心点(最终converge)的速度很nice。所以要做feature scaling，

将每个变量范围弄到-1~1的范围

（其实也没有必要每个都缩放到-1~1哈，选其他的范围也行，反正不能相差太大。比如-0.000001~0.000001和-100~100）

还有一个办法就是做均值归一化 mean normalization，使变量均值为0。方法就是(xi-u)/s —— s可以是离差max-min，也可以是标准偏差standard deviation

学习速率α

如何选择α的值？

画出代价函数随迭代次数变化的图。可以看出在迭代了300~400次后，代价函数J的值下降得很缓慢，再往后每次迭代可能就变化10^-3这么多，说明J差不多收敛了

下面这三种情况都说明α选得太大，导致代价函数J或一直增大，或变化很大，或来回摇摆，总之就是J不收敛

总结：α太小，收敛慢；α太大，有可能不收敛

在选择α的时候，可以进行尝试。比如从0.001~0.01~0.1~1

多项式回归（非线性）

我们在做房价预测的时候可能会考虑到frontage、depth以及Aera这几个因素，而面积aera又可以用frontage*depth来表示。所以frontage和depth对房价的影响可以统一用area来表示

然后是选择回归多项式。

根据房价的走势，如果选二次的话，随着面积增大，房价反而下降。明显我们不希望是这个结果，所以再加一个三次方的项，这样后面就是一直上升的形式。

也可以选用二次根式来代替平方项

常规方程

除了梯度下降法之外，还可以用常规方程（normal equation）的方法直接解出θ

我们的目标是使代价函数J取最小值，找出此时的参数θ——问题转为求解J的最小值——对J求导=0

假设一共有n个变量features影响房价price(y)，m组数据，则矩阵X可表示为

1    x1(1)    x2(1)   ...   xn(1) 

 .    x1(2)    x2(2)   ...   xn(2) 

 .    ...         ...       ...    ...        

 .    ...         ...       ...    ...        

1    x1(m)   x2(m)  ...   xn(m)

0~n列，第j列表示第j个变量xj的n个训练数据

1~m行，第i行表示训练集的第i组训练数据

xj(i)表示第i组训练数据中的第j个变量

J(θ)对每一个θj求导之后的导数都应该是0，即J(θj)' = Σ(i=1~m) (h(x(i))-y(i))*xj(i) = 0. 把J(θ)写成向量形式，是为一个行向量J(θ)' = [J(θ1)' J(θ2)' ... J(θn)'] = 0

[J(θ1)' J(θ2)' ... J(θn)'] = ( θT * XT - yT ) * X = 0 —— θ = (XT*X)^(-1)*XT*y

(XT * X)^(-1)是XT*X的逆矩阵，求逆矩阵的方法，Octave中可用pinv()来实现

这种方法可以直接通过矩阵运算求出θ

梯度下降法和常规方程法比较

m组训练数据，n个变量

梯度下降法                    常规方程法

需要选择α的取值                   不需要选择α

需要很多次迭代                     不需要迭代

                                              需要计算(XT*X)^(-1)

适用于n很大的情况                 如果n很大 运算会很慢

n在什么情况下算large？——矩阵运算(XT*X)^(-1)的复杂度是O(n^3)。n=100,1000都可以接受，n=10000时，复杂度为10^12，有点悬。当n达到10^6时，计算机真的不行了……还是选用梯度下降法迭代吧

(XT * X)^(-1)是XT*X的逆矩阵，求逆矩阵的方法，Octave中可用pinv()来实现

这种方法可以直接通过矩阵运算求出θ

矩阵XT*X不可逆？non-invertible

面对这种情况，计算机似乎无法进行计算了。

Matlab/Octave中计算逆矩阵有两个命令：inv和pinv。pinv可以计算伪逆(广义逆矩阵)pseudo-inverse，不可逆矩阵也可以用pinv求出逆矩阵，具体可在Matlab中help pinv

当XT*X出现不可逆的情况时，可能因为变量出现冗余，或者说矩阵不满秩(m≤n)，所以可以删去一些变量

什么是冗余呢？比如说x1是以feet2为单位的面积变量，x2是以m2为单位的面积变量，这二者之间是线性相关的，x1=x2*3.28，所以这两个变量相当于只有一个，可以删去一个变量，从而防止出现冗余