贪心算法和动态规划(2)

贪心算法和动态规划（2）

                                                                                                                                                                                 ----by  C_xiaobao

2.动态规划

  上次讲贪心算法的时候，我是先用了一个引例，然后再退回到概念层面上来讲贪心算

法。但是这次，我要先讲动态规划算法基本思想，然后再以典型的01背包问题结束。

a.基本思想（参考百度百科）：

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行

解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类

似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问

题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到

子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，

有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时

再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来

记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其

结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具

有相同的填表格式。

b.实现步骤：

                 (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

                 (2)递归地定义最优值。

                 (3)以自底向上的方式计算出最优值。

                 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

当然，这个步骤在现在看起来会比较唐突，接下来我们会以01背包问题为例，具体说

明。

          c.适用条件：

另外我想说：

(1).一个最优化策略的子策略总是最优的。等于你解决了一个大问题时，它的所有子问

题你也都有了最优解。

(2).以前的状态无法对直接影响未来的决策。

(3).之前讲到会保存子问题的答案，可以避免大量的运算，减少冗余。

以上的三个性质也即就是表明了我们的动态规划算法适用于解决“对应”（比如利用第

三个性质 就适用于子

问题复杂计算是具有冗余的问题）的问题。以上三个性质可以说是三个适用条件，用

书本上看不懂的表达分

别叫做：最优化原理、无后效性、子问题重叠性。

d.01背包问题：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是

6,3,5,4,6，现在给你个

承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

首先呢我们需要定义一些表达式的含义（如下）：

w[i]:第i个物体的重量；

p[i]:第i个物体的价值；

c[i][m]:前i个物物体放入承重为m的背包的最大价值；

c[i-1][m]:前i个物体放入承重为m的背包的最大价值；

c[i-1][m-w[i]]:前i-1个物体放入承重为m-w[i]的背包的最大价值；

OK，有了这些基础，我们就可以根据之前总结好的步骤来解州01背包问题了。

(1)找出最优解的性质，并刻画其结构特征

性质：要求出背包承重为10所能装的最大价值总和.当背包承重为小于10的时候，其最

优解应该是此问题最优解的子

(2)递归的定义最优值：

                                首先：c[i][m]=c[i-1][m] （当背包不能再装第i个物体时，那么

最大价值总和等前i-1个是相同的）

                             c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（当背

包可以装第i个物体时，那么其最大价值总和是c[i-1][m-w[i]]+pi和 c[i-1][m]中

较大的那一个)

(3)以自底向上的方式计算最优值：

                          根据上面的转移方程，由低上上计算最优值

 (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。（下图来自：这里）

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666注意：此图应该由低向上，由左向右开阅读。即就是背包的容量看做是有1增长到

10的动态过程。此外，为了理解，前i件物品的试图放入背包顺序可以这样认为：

e,d,c,b,a.即就是e是第一个，d是第二个物体，，，，a是第五个物体。

比如：e2格表示当背包承重为2时，重量为4的e物体是不能放进去的。那么b2格

表示当背包承重2时，e，d，c都无法装入背包，b装入背包，价值为3.那么a2表

示，当背包承重为2时，e,d,c都无法装入背包，a,b可以装入，但是相比较a是最优

解。所以价值从3更新为6。

那么我们在来看a8=15(即就是c[5][8])是怎么得出来的。根据状态转移方程：

c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}我们知道要求出c[5][8],

我们需要先比较c[4][8]和c[4][6]+p[5](p[5]就是a的价值,a是第5个物体)由表可知：

c[4][8]=9;c[4][6]+p[5]=9+6=15；所以c[5][8]也就是a8的值为15.

这就是经典的01背包问题。大家感受一下动态规划的魅力。

当然，仅仅是这一点，对动态规划想要整体全面的了解还是不够的。可以参见以下两篇我的文章：
想要了解贪心算法：请点击这里

贪心算法和动态规划的对比认识：请点击这里