单源多目标最短路径之Dijkstra算法

来源：互联网发布：埃迪·琼斯数据编辑：程序博客网时间：2024/06/07 08:13

Dijkstra算法（单源最短路径）

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.直到U=V，停止。

测试用例：

代码：

#include <stdio.h>#include <limits.h>//using namespace std;#define MAX_VERTICES 6int cost[][MAX_VERTICES] = {{0,50,10,1000,45,1000},{1000,0,15,1000,10,1000},{20,1000,0,15,1000,1000},{1000,20,1000,0,35,1000},{1000,1000,30,1000,0,1000},{1000,1000,1000,3,1000,0}};int distance[MAX_VERTICES];short int found[MAX_VERTICES];int path[MAX_VERTICES];int n = MAX_VERTICES;int choose(int distance[],int n,short int found[]){int i,min,minpos;min = INT_MAX;minpos = -1;for(i = 0; i < n; i++){if(distance[i] < min && !found[i]){min = distance[i];minpos = i;}}return minpos;}void Dijkstra(int v,int cost[][MAX_VERTICES],int distance[],int n,short int found[],int path[]){int i,u,w;for(i = 0; i < n; i++){found[i] = false;distance[i] = cost[v][i];path[i] = v;}found[v] = true;distance[v] = 0;for(i = 0; i < n - 2; i++){u = choose(distance,n,found);found[u] = true;for(w = 0; w < n; w++){if(!found[w])if(distance[u] + cost[u][w] < distance[w]){distance[w] = distance[u] + cost[u][w]; path[w] = u;}}}}int main(){int v = 0;Dijkstra(v,cost,distance,n,found,path);for(int i=0;i<n;i++)printf("%-3d",distance[i]);printf("\n");for(int i=0;i<n;i++)printf("%-3d",path[i]);/*create path output*/printf("\n");for(int i=0;i<MAX_VERTICES;i++){ if (distance[i] < 1000){printf("%d<-",i);int j = i;while(path[j] != v){printf("%d<-",path[j]);j = path[j];}printf("%d\n",v); }elseprintf("Vertex : %d can not be accessed by :% d \n",i,v); } }

测试结果：

0  45 10 25 45 10000  3  0  2  0  0  0<-01<-3<-2<-02<-03<-2<-04<-0Vertex : 5 is not attached to : 0

REF：

1，数据结构（C语言版） Ellis Horowitz

2，http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/26/2155202.html

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