C语言的本质（1）——计算机与二进制

 

人类的计数方式通常是“逢十进一”，称为十进制（Decimal），大概因为人有十个手指，所以十进制是最自然的计数方式，各民族的文字中都有十个数字，而阿拉伯数字0-9是目前最广泛采用的。

 

计算机是采用数字电路搭成的，数字电路中只有1和0两种状态，或者可以说计算机只有两个手指，所以对计算机来说二进制是最自然的计数方式。应用“逢二进一”的原则，十进制的1、2、3、4分别对应二进制的1、10、11、100。二进制的一位数字称为一个位（Bit），三个bit能够表示的最大的二进制数是111，也就是十进制的7。不管用哪种计数方式，数的大小并没有变，十进制的1+1等于2，二进制的1+1等于10，但二进制的10和十进制的2大小是相等的。计算机采用逻辑电路计算两个bit的加法.

电压值进入门电路的输入端，经过逻辑运算后在门电路的输出端输出运算结果的电压值，任何复杂的加减乘除运算都可以分解成简单的逻辑运算。AND、OR和NOT三种逻辑运算分别用与门、或门和反相器实现。另外几种逻辑运算在这里补充一下。下面是异或运算的真值表：

 

A

B

A XOR B

  0  

  0  

  0

  0

  0

  1

  1

  0

  1

  1

  1

  0

 

一句话概括就是：两个操作数相同则结果为0，两个操作数不同则结果为1。

 

与非（NAND）和或非（NOR）运算就是在与、或运算的基础上取反。下面是NAND的真值表：

 

A

B

A NAND B

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

 

NOR的真值表：

 

A

B

A NAND B

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

 

 

 

如果把与门、或门和反相器组合来实现NAND和NOR运算，则电路过于复杂了，因此逻辑电路中通常有专用的与非门和或非门。

 

加法器是为了实现加法的一种装置。加数和被加数为输入，和数与进位为输出的装置为半加器。若加数、被加数与低位的进位数为输入，而和数与进位为输出则为全加器。常用作计算机算术逻辑部件，执行逻辑操作、移位与指令调用。

对于1位的二进制加法，相关的有五个的量：1，被加数A，2，被加数B，3，前一位的进位CIN，4，此位二数相加的和S，5，此位二数相加产生的进位COUT。前三个量为输入量，后两个量为输出量，五个量均为1位。下面是一位加法器的真值表：

 

A

B

Cin

Cout

S

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

 

对于32位的二进制加法，相关的也有五个量：1，被加数A（32位），2，被加数B（32位），3，前一位的进位CIN（1位），4，此位二数相加的和S（32位），5，此位二数相加产生的进位COUT（1位）。

要实现32位的二进制加法，一种自然的想法就是将1位的二进制加法重复32次（即逐位进位加法器）。这样做无疑是可行且易行的，但由于每一位的CIN都是由前一位的COUT提供的，所以第2位必须在第1位计算出结果后，才能开始计算；第3位必须在第2位计算出结果后，才能开始计算，等等。而最后的第32位必须在前31位全部计算出结果后，才能开始计算。这样的方法，使得实现32位的二进制加法所需的时间是实现1位的二进制加法的时间的32倍。

 

我们已经知道计算机中，所有数据最终都是使用二进制数表达。那么在计算机中，一个负数如何用二进制表达呢。

比如，假设有一 int 类型的数，值为5，那么，我们知道它在计算机中表示为：5

00000000

00000000

00000000

00000101

转换成二制是101，不过int类型的数占用4字节（32位），所以前面填了一堆0。

现在想知道，-5在计算机中如何表示？

在计算机中，负数以其正值的补码形式表达。

什么叫补码呢？这得从原码，反码说起。

原码：一个整数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。

比如

00000000

00000000

00000000

00000101

是 5的原码。

反码：将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。

取反操作指：原为1，得0；原为0，得1。（1变0; 0变1）

比如：

00000000

00000000

00000000

00000101

每一位取反，得11111111 11111111 11111111 11111010。

称：11111111 11111111 11111111 11111010 是

00000000

00000000

00000000

00000101

的反码。

反码是相互的，所以也可称：

11111111

11111111

11111111

11111010

和

00000000

00000000

00000000

00000101

互为反码。

补码：反码加1称为补码。

也就是说，要得到一个数的补码，先得到反码，然后将反码加上1，所得数称为补码。

比如：

00000000

00000000

00000000

00000101

的反码是：

11111111

11111111

11111111

11111010

那么，补码为：

11111111 11111111 11111111 11111010 + 1 = 1111111111111111 11111111 11111011

所以，-5 在计算机中表达为：1111111111111111 11111111 11111011。转换为十六进制：0xFFFFFFFB。

再举一例，我们来看整数-1在计算机中如何表示。

假设这也是一个int类型，那么：

1、先取1的原码：

00000000

00000000

00000000

00000001

2、得反码：

11111111

11111111

11111111

11111110

3、得补码：

11111111

11111111

11111111

11111111

可见，－1在计算机里用二进制表达就是全1。16进制为：0xFFFFFFFF。利用调试器，我们可以看到每个变量的16进制值。