《数学模型 姜起源》-- 学习笔记

原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对角，在科技领域通常使用系统（System）、过程（Process）等词汇。

模型指为了某个特定目地将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。

按照模型替代原型方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。

直观模型指那些供展览用的实物模型，以玩具、照片等，通常是把原型的尺寸比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。

物理模型主要指科技工作者为了一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原形的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验。物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。

思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获得满意的结果，但是它簇簇带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等 缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人拉的相互沟通。

符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。如地图，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。

数学模型为了某一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学模型比较具体的应用如：分析与设计、预报与决策、控制与优化、规划与管理

一般说来，建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种，机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义；测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

模型准备了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息，形成一个比较清晰的“问题”

模型假设分清主次，作出必要的、合理的简化假设，常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。

模型构成根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型。注意使用类比法，尽量采用简单的数学工具。

模型分析对求解的结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等 

模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。

初等模型

如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。

优化模型

当你打算用数学建模方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受哪些条件的限制，然后用数学工具表示它们。

微分方程模型

当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态、研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。微分方程模型就是一种建模方式。

代数方程与差分方程

对于工程技术和社会经济领域中的许多问题，当不考虑时间因素的变化，作为静态问题处理时，常常可以建立代数方程模型。

由一计算或就用上的考虑，将微分方程离散化就得到差分方程。

稳定性模型

有时间建模的主要目的并不是寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势，为了分析这种稳定的规律，常常不需要求解微分方程（并且我们将看到，即使对于不太复杂的方程，解析也不是总能得到的），而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

离散模型

一般来说，确定性离型模型包括的范围很广，除了差分方程模型外，用整数规划、图论、对策论、网络流等数学工具都可以建立离散模型。

概率模型

虽然我们研究的对象通常包含随机因素，但是如果从建模的背景、目的和手段看，主要因素是确定的，而随机因素可以忽略，或者随机因素的影响可以简单地以平均值的作用出现，那么就能够建立确定性的数学模型。如果随机性因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型。

统计回归模型

当人们对研究对象的内在特性和各因素的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型。如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程序的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法就是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析支建立模型。

博弈模型

优化建模是一类重要和有效的方法，但当存在多个决策者，每个决策者有自己的决策变量和目标函数，并且一个决策者的决策变量以某种形式出现在另一个决策者的目标函数中时，决策者之间的决策行为相互影响，就不能用一般的优化模型进行建模和求解了。

马氏链模型

在考察有随机因素影响的动态系统中，常常碰到这样的情况：头衔系的每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关，这种性质称为无后效性或马乐可夫性。

动态优化模型

其优化目标仍然是一个数值，而最优策略是函数，对于连续过程可归结为求泛函的极值，常用的方法是古典变分法和最优控制论，对于离散过程可以使用动态规划。