HeapSort

在程序设计相关领域，堆(Heap)的概念主要涉及到两个方面：

·        一种数据结构，逻辑上是一颗完全二叉树，存储上是一个数组对象（二叉堆）。

·        垃圾收集存储区，是软件系统可以编程的内存区域。

本文所说的堆，指的是前者。

堆排序的时间复杂度是O(nlgN)，与快速排序达到相同的时间复杂度。但是在实际应用中，我们往往采用快速排序而不是堆排序。这是因为快速排序的一个好的实现，往往比堆排序具有更好的表现。堆排序的主要用途，是在形成和处理优先级队列方面。另外，如果计算要求是类优先级队列（比如，只要返回最大或者最小元素，只有有限的插入要求等），堆同样是很适合的数据结构。

基础知识

堆一般用数组表示，比如数组A数组的长度Length(A)，堆在数组中的元素个数HeapSize(A)。一般说来，HeapSize(A) <= Length(A)，因为数组A当中可能有一些元素不在堆中。

假设节点I是数组A中下标为i的节点。

·        Parent(i) : return Floor(i/2); //I的父节点下标，Floor(i)表示比i小的最大整数。

·        Left(i) : return 2*i; //I的左子节点

·        Right(i) : return 2*i+1; //I的右子节点

含有n个元素的堆A的高度是: Floor(lgn)。

堆的基本操作

·        MaxHeapify( A, i ):

保持堆的性质。假设数组A和下标i，假定以Left(i)和Right(i)为根结点的左右两棵子树都已经是最大堆，节点i的值可能小于其子节点。调整节点i的位置。

·        BuildMaxHeap( A ):

从一个给定的数组建立最大堆。子数组A[ floor(n/2)+1 .... ... n]中的元素都是树的叶节点(完全二叉树的基本性质)。从索引 ceiling(n/2)开始一直到1，对每一个元素都执行MaxHeapify，最终得到一个最大堆。

·        堆排序HeapSort( A ):

堆排序算法的基本思想是，将数组A创建为一个最大堆，然后交换堆的根(最大元素)和最后一个叶节点x，将x从堆中去掉形成新的堆A1，然后重复以上动作，直到堆中只有一个节点。

·        优先级队列算法-增加某元素的值(优先级) : HeapIncreaseKey( A,i, key )

增加某一个元素的优先级后（元素的值），该元素应该向上移动，才能保持堆的性质。

·        优先级队列算法-插入一个元素:Insert( S, x )将x元素插入到优先级队列S中。

主要思路是，将堆的最后一个叶节点之后，扩展一个为无穷小的新叶节点，然后增大它的值为x的值。

堆排序实现原理

package com.citi.byteman.test.arithmatic;public class HeapSort {HeapSort() {}/** * 对该数进行下滤操作，直到该数比左右节点都小就停止下滤 *  * @param num * @param index * @param size */public void percolateDown(int num[], int index, int size) {int min;// 设置最小指向下标while (index * 2 + 1 < size) {// 如果该数有左节点，则假设左节点最小min = index * 2 + 1;// 获取左节点的下标if (index * 2 + 2 < size) {// 如果该数还有右节点if (num[min] > num[index * 2 + 2]) {// 就和左节点分出最小者min = index * 2 + 2;// 此时右节点更小，则更新min的指向下标}}// 此时进行该数和最小者进行比较，if (num[index] < num[min]) {// 如果index最小，break;// 停止下滤操作} else {swap(num, index, min);// 交换两个数，让大数往下沉index = min;// 更新index的指向}}}// 建堆方法，只需线性时间建好public void buildHeap(int num[], int size) {for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {

                     //对前一半的节点（解释为“从最后一个非叶子节点开始,将每个父节点都调整为最小堆”更合理一些）percolateDown(num, i, size);// 进行下滤操作}}public void heapSort(int num[]) {int size = num.length;buildHeap(num, size);// 建立小顶堆for (int i = num.length - 1; i >= 1; i--) {swap(num, 0, i);size--;// 每交换一次让规模减少一次percolateDown(num, 0, size);// 将新的首元素下滤操作}}/** * swap two number in the array *  * @param num * @param v * @param u */public void swap(int num[], int v, int u) {int temp = num[v];num[v] = num[u];num[u] = temp;}public void printArray(int[] array) {for (int i = 0; i < array.length; i++) {System.out.print(array[i] + "\t");}System.out.println("");}public static void main(String[] args) {HeapSort heapSort = new HeapSort();int[] data = { 8, 5, 4, 6, 13, 7, 1, 9, 12, 11, 3, 10, 2 };System.out.println("before sort:");heapSort.printArray(data);heapSort.heapSort(data);System.out.println("after sort:");heapSort.printArray(data);}}