硬币组合问题-动态规划

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)

首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？

当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个硬币。

那么， 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。

当i=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。

当i=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币， 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可，所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。

当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的。 有两种方案，如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了： 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币， 我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？ 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以， 选择d(3)=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

状态转移方程：

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;

代码实现：

#include <iostream>#include <vector>#include <climits>using namespace std;int money(vector<int> &vi,int s){int n=vi.size();vector<int> mi(s+1,0);for(int i=1;i<=s;++i)mi[i]=INT_MAX;for(int i=1;i<=s;++i){for (int j=0;j<n;++j){if(vi[j]<=i && mi[i-vi[j]]+1<mi[i])mi[i]=mi[i-vi[j]]+1;}}return mi[s];}int main(){int n=11;//cin >> n;vector<int> v;v.push_back(1);v.push_back(3);v.push_back(5);cout << money(v,n);return 0;}