最大公约数

两个数的最大公约数是能够整除这两个整数的最大数。程序清单给出了一个求两个整数m和n的最大公约数的穷举算法。
该算法检测K(k=2,3,4,等等)是否是n1和n2的公约数。
 public static int gcd(int m,int n)
 {
    int gcd=1;
 for(int k=2;k<=m&&k<=n;k++){
   if(m%k==0&&n%k==0)
    gcd=k;
    }
    return gcd;
 }
 假设m>=n,那么该算法的复杂度是O(n)。
 
 for(int k=n;k>=1;k--)
 {
  if(m%k==0&&n%k==0)
  {
    gcd=k;
 break;
  }
 }
 这个算法比前一个效率更高。但是他的最坏情况的时间复杂度仍旧是O(n).
 
 数字n的除数不可能比n/2大。因此，可以使用下面的循环进一步提高算法效率：
 for(int k=m/2;k>=1;k--){
   if(m%k==0&7n%k==0){
    gcd=k;
 break;
   }
 }
 但是，该算法不正确，因为n可能是m的除数。这种情况必须考虑到。正确的算法如程序所示：
    import java.util.Scanner;
    public class GCD1{
   public static int gcd1(int m,int n){
    int gcd=1;
    if(m%n==0)
    return n;
     for(int k=m/2;k>=1;k--){
         if(m%k==0 && n%k==0){
          gcd=k;
       break;
    }
    }
    return gcd;
   }
     public static int gcd2(int m,int n){
   if(m%n==0)
   return n;
   else
   return gcd2(n,m%n);  
   }
   public static void main(String[] args){
     Scanner input=new Scanner(System.in);
  System.out.println("Enter first integer:");
   int m=input.nextInt();
   System.out.println("Enter second integer:");
   int n=input.nextInt();
   System.out.println("The greatest common divisor for:"+m+"and"+n+"is"+gcd1(m,n));
    System.out.println("The greatest common divisor for:"+m+"and"+n+"is"+gcd2(m,n));
   }
 }
 gcd1:假设m>n,那么这个for循环最多执行n/2次。只是请一个算法的一半。该算法的时间复杂度仍然是o(n).
 
gcd2:时间复杂度为O(logn)