hdu-4656-So Easy!-递推式+矩阵优化

题解转自：http://www.klogk.com/posts/hdu4565/

题意非常简单，a,b,n都是正整数，求

Sn=⌈(a+b√)n⌉%m,(a−1)2<b<a2

这个题目也是2008年Google Codejam Round 1A的C题。

做法其实非常简单，记(a+b√)n为An，配项

Cn=An+Bn=(a+b√)n+(a−b√)n

两项恰好共轭，所以Cn是整数。又根据限制条件

(a−1)2<b<a2⇒0<a−b√<1⇒0<(a−b√)n<1⇒Bn<1

也就是说Cn=⌈An⌉

Sn=(Cn)%m

求Cn的方法是递推。 对Cn乘以(a+b√)+(a−b√)

于是

Cn+1=2aCn−(a2−b)Cn−1

把这个递推式写成矩阵形式

[Cn+1Cn]=[2a1−(a2−b)0][CnCn−1]

于是就可以用矩阵快速幂来做了

[Cn+1Cn]=[2a1−(a2−b)0]n[C1C0]

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以上是原版的题解。

这个题目是我做训练赛的时候做到的，当时没做出来，后来看题解，一开始不明白为什么C[N]=[ A[N]  ];

后来的时候百度了一下共轭的定义发现：

C[N]一定是一个整数。

B[N]又小于1.

所以

C[N]=[ A[N]  ]=A[N]+B[N];

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>#include <ctype.h>#include <queue>#include <map>#include <algorithm>using namespace std;#define maxn 3001#define LL long longstruct matrix{    LL mat[3][3];    matrix()    {        memset(mat,0,sizeof(mat));    }};int m;matrix mul(matrix A,matrix B){    matrix C;    for(int i=1;i<=2;i++)    {        for(int j=1;j<=2;j++)        {            C.mat[i][j]=0;            for(int k=1;k<=2;k++)            {                C.mat[i][j]+=A.mat[i][k]*B.mat[k][j];            }            C.mat[i][j]%=m;            if(C.mat[i][j]<0)C.mat[i][j]+=m;        }    }    return C;}matrix pows(matrix A,LL p){    matrix B;    B.mat[1][1]=B.mat[2][2]=1;    while(p)    {        if(p&1)B=mul(B,A);        A=mul(A,A);        p>>=1;    }    return B;}int main(){    int a,b,n;    while(~scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&n,&m))    {        matrix A;        A.mat[1][1]=2;        A.mat[2][1]=2*a;        matrix B;        B.mat[1][1]=0;     B.mat[1][2]=1;        B.mat[2][1]=b-a*a; B.mat[2][2]=2*a;        B=pows(B,n);        A=mul(B,A);        cout<<A.mat[1][1]<<endl;    }    return 0;}