Hession矩阵

Hession矩阵（下称H矩阵）在Surf特征提取中用到，在Hession-Affine区域检测中也用到

在求向量函数最小时，H矩阵正定是最小值存在的充分条件

经济学中常常遇到最优问题，目标是多元非线性函数的极值问题尚无一般求解方法，但判定局部极小值可以用H矩阵

在x0点上，Hession矩阵是正定的，且各分量的一阶偏导数为0，则x0为极小值点

在x0点上，Hession矩阵是负定的，且各分量的一阶偏导数为0，则x0为极大值点

矩阵是正定的充要条件是各个特征值均为负数

矩阵是负定的充要条件是各个特征值均为正数

1.理论公式

高斯函数

高斯函数二阶导

模板对原图卷积

Hession矩阵

注意：图像的每一个像素都对应一个Hession矩阵

2.matlab代码

<span style="font-family:Comic Sans MS;">clear all;close all;clc;img=double(imread('lena.jpg'));[m n]=size(img);w=4;sigma=1.2;[x y]=meshgrid(-w:w,-w:w);%高斯函数对应的二阶偏导，如何求导数请自行脑补Dxx = 1/(2*pi*sigma^4)*(x.^2/sigma^2-1)*exp(-(x.^2+x.^2)/(2*sigma^2));     Dyy = 1/(2*pi*sigma^4)*(y.^2/sigma^2-1)*exp(-(x.^2+y.^2)/(2*sigma^2));Dxy = 1/(2*pi*sigma^6)*(x.*y)*exp(-(x.^2+y.^2)/(2*sigma^2));Ixx=imfilter(img,Dxx,'replicate');Iyy=imfilter(img,Dyy,'replicate');Ixy=imfilter(img,Dxy,'replicate');H=cell(m,n);for i=1:m   for j=1:n     H{i,j}=[Ixx(i,j) Ixy(i,j);Ixy(i,j) Iyy(i,j)];       endend</span>