算法导论 概率 投球问题 5.4-6
来源:互联网 发布:哪个驱动软件好用知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 22:47
题目:
假设将n个球投入n个盒子里,每次投球都是独立的,并且每个球落入任何盒子的机会都相等。空盒子的期望数量是多少?正好有一个球的盒子的期望数量又是多少?
(空盒子的期望数量是多少?) 解:
我们可以假定给盒子都编号,1 - n.
空盒子的期望数量 = 盒子1空的概率 + 盒子2空的概率 + ... + 盒子n空的概率
同时,每个盒子空置的概率应该是一样的.
在投入n个球后,
盒子i空置的概率 = (1-1/n)^n
空盒子的期望数量 = n * (1-1/n)^n
(正好有一个球的盒子的期望数量又是多少?) 解:
继续上述的假定,给盒子编号,1-n.
正好有一个球的盒子的期望数量 = 盒子1仅有1个球的概率 + 盒子2仅有1个球的概率 + 盒子n仅有1个球的概率
同时,每个盒子仅有1个球的概率应该是一样的。
在投入n个球后,
盒子i仅有1个球的概率 = n次投球事件中,仅有1次命中盒子i,不论是第几次 = 1/n * (1-1/n)^(n-1) * C(n, 1) = (1-1/n)^(n-1)
故 正好有一个球的盒子的期望数量 = n * (1-1/n)^(n-1)
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