向量点乘与叉乘

点乘 dot product

　　点乘，也叫向量的内积、数量积。顾名思义，求下来的结果是一个数。 

　　向量a·向量b=|a||b|cos<a,b> 

　　在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，即要用点乘。 

　　将向量用坐标表示（三维向量）， 

　　若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)， 

　　则 

　　向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2

点乘可用于判断向量垂直

　　判断条件：

　　在向量a与向量b的模皆不为0的情况下，向量a·向量b=0

　　由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出

　　当|a| 、|b|皆不为0时，cos<a,b>为0

　　也即向量a与向量b互相垂直。

关于用点乘判断向量平行的误区

　　判断平行：

　　向量a·向量b=|a|*|b|；

　　而非向量a·向量b=1（×）

　　由向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>可很容易的得出

叉乘 cross product

　　叉乘，也叫向量的外积、向量积。顾名思义，求下来的结果是一个向量，记这个向量为c。 

　　|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b> 

　　向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。 

　　因此 

　　向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b= - 向量b×向量a 

　　在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。 

　　将向量用坐标表示（三维向量）， 

　　若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)， 

　　则 

　　向量a×向量b= 

　　| i j k |

　　|a1 b1 c1|

　　|a2 b2 c2| 

　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) 

　　（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）。