数字拆解

说明

题目是这样的：
3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法
4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 共五种
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1

共七种
依此类推，请问一个指定数字NUM的拆解方法个数有多少个？

解法

我们以上例中最后一个数字5的拆解为例，假设f( n )为数字n的可拆解方式个数，而f(x, y)为使
用y以下的数字来拆解x的方法个数，则观察：
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1
使用函式来表示的话：
f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,4) + f(0,5)
其中f(1, 4) = f(1, 3) + f(1, 2) + f(1, 1)，但是使用大于1的数字来拆解1没有意义，所以f(1, 4) =
f(1, 1)，而同样的，f(0, 5)会等于f(0, 0)，所以：
f(5) = f(4, 1) + f(3,2) + f(2,3) + f(1,1) + f(0,0)
依照以上的说明，使用动态程式规画（Dynamic programming）来进行求解，其中f(4,1)其实就
是f(5-1, min(5-1,1))，f(x, y)就等于f(n-y, min(n-x, y))，其中n为要拆解的数字，而min()表示取两
者中较小的数。
使用一个二维阵列表格table[x][y]来表示f(x, y)，刚开始时，将每列的索引0与索引1元素值设定
为1，因为任何数以0以下的数拆解必只有1种，而任何数以1以下的数拆解也必只有1种：
for(i = 0; i < NUM +1; i++){
table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种
table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种
}
接下来就开始一个一个进行拆解了，如果数字为NUM，则我们的阵列维度大小必须为NUM x
(NUM/2+1)。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define NUM 10 // 要拆解的数字#define DEBUG 0int main(void) {int table[NUM][NUM/2+1] = {0}; // 动态规画表格int count = 0;int result = 0;int i, j, k;printf("数字拆解\n");printf("3 = 2+1 = 1+1+1 所以3有三种拆法\n");printf("4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1");printf("共五种\n");printf("5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1");printf(" = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 +1 +1 +1");printf("共七种\n");printf("依此类推，求%d 有几种拆法？", NUM);// 初始化for(i = 0; i < NUM; i++){table[i][0] = 1; // 任何数以0以下的数拆解必只有1种table[i][1] = 1; // 任何数以1以下的数拆解必只有1种}// 动态规划for(i = 2; i <= NUM; i++){for(j = 2; j <= i; j++){if(i + j > NUM) // 大于NUMcontinue;count = 0;for(k = 1 ; k <= j; k++){count += table[i-k][(i-k >= k) ? k : i-k];}table[i][j] = count;}}// 计算并显示结果for(k = 1 ; k <= NUM; k++)result += table[NUM-k][(NUM-k >= k) ? k : NUM-k];printf("\n\nresult: %d\n", result);if(DEBUG) {printf("\n除错资讯\n");for(i = 0; i < NUM; i++) {for(j = 0; j < NUM/2+1; j++)printf("%2d", table[i][j]);printf("\n");}}return 0;}