B-树小结

1、定义与特性

B-树是一种平衡的多路查找树，在文件系统中有所应用。主要用作文件的索引。2-3树、2-3-4树都属于B-树。

B-树结构特性：

      一棵m阶B-树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树：(m≥3)

(1)根结点只有1个，关键字字数的范围[1,m-1]，分支数量范围[2,m]；

(2)除根以外的非叶结点，每个结点包含分支数范围[[m/2],m]，即关键字字数的范围是[[m/2]-1,m-1]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数；

(3)非叶结点是由叶结点分裂而来的，所以叶结点关键字个数也满足[[m/2]-1,m-1]；

(4)所有的非终端结点包含信息：(n，P0，K1，P1，K2，P2，……，Kn，Pn)，

    其中Ki为关键字，Pi为指向子树根结点的指针，并且Pi-1所指子树中的关键字均小于Ki，而Pi所指的关键字均大于Ki（i=1，2，……，n），n+1表示B-树的阶，n表示关键字个数，即[ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1；

(5)所有叶子结点都在同一层，并且指针域为空，具有如下性质：

　　根据B-树定义，第一层为根有一个结点，至少两个分支，第二层至少2个结点，i≥3时，每一层至少有2乘以([m/2])的i-2次方个结点([m/2]表示取大于m/2的最小整数)。若m阶树中共有N个结点，那么可以推导出N必然满足N≥2*(([m/2])的h-1次方)-1 (h≥1)，因此若查找成功，则高度h≤1+log[m/2](N+1)/2，h也是磁盘访问次数(h≥1)，保证了查找算法的高效率。

下图给出了典型的3阶B-树

2.基本操作

这里只给出插入删除操作，查找操作相对简单的多 这里不做解释

 1)B-树的插入操作(重点判断是否满足n<=m-1)

      a.利用前述的B-树的查找算法查找关键字的插入位置。若找到，则说明该关键字已经存在，直接返回。否则查找操作必失败于某个最低层的非终端结点上。

      b.判断该结点是否还有空位置。即判断该结点的关键字总数是否满足n<=m-1。若满足，则说明该结点还有空位置，直接把关键字k插入到该结点的合适位置上。若不满足，说明该结点己没有空位置，需要把结点分裂成两个。

分裂的方法是：生成一新结点。把原结点上的关键字和k按升序排序后，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置插入到父结点中。如果父结点的关键字个数也超过（m-1），则要再分裂，再往上插。直至这个过程传到根结点为止。

2).B-树的删除操作(重点判断删除所在结点及其兄弟结点，父结点中n>ceil(m/2)-1，n=ceil(m/2)-1，n<ceil(m/2)-1)

在B-树上删除关键字K的过程也可以分为两步完成

a.利用前述的B-树的查找算法找出该关键字所在的结点。然后根据 k所在结点是否为叶子结点有不同的处理方法。

b.若该结点为非叶结点，且被删关键字为该结点中第i个关键字key[i]，则可从指针son[i]所指的子树中找出最小关键字Y，代替key[i]的位置，然后在叶结点中删去Y。因此，把在非叶结点删除关键字k的问题就变成了删除叶子结点中的关键字的问题了。

 

在B-树叶结点上删除一个关键字的方法是

首先将要删除的关键字 k直接从该叶子结点中删除。然后根据不同情况分别作相应的处理，共有三种可能情况：

  a.如果被删关键字所在结点的原关键字个数n>=ceil(m/2)，说明删去该关键字后该结点仍满足B-树的定义。这种情况最为简单，只需从该结点中直接删去关键字即可。

  b.如果被删关键字所在结点的关键字个数n等于ceil(m/2)-1，说明删去该关键字后该结点将不满足B-树的定义，需要调整。

   调整过程为：如果其左右兄弟结点中有“多余”的关键字,即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目大于ceil(m/2)-1。则可将右（左）兄弟结点中最小（大）关键字上移至双亲结点。而将双亲结点中小（大）于该上移关键字的关键字下移至被删关键字所在结点中。

   c.如果左右兄弟结点中没有“多余”的关键字，即与该结点相邻的右（左）兄弟结点中的关键字数目均等于ceil(m/2)-1。这种情况比较复杂。需把要删除关键字的结点与其左（或右）兄弟结点以及双亲结点中分割二者的关键字合并成一个结点,即在删除关键字后，该结点中剩余的关键字加指针，加上双亲结点中的关键字Ki一起，合并到Ai（即双亲结点指向该删除关键字结点的左（右）兄弟结点的指针）所指的兄弟结点中去。如果因此使双亲结点中关键字个数小于ceil(m/2)-1，则对此双亲结点做同样处理。以致于可能直到对根结点做这样的处理而使整个树减少一层。

总之，设所删关键字为非终端结点中的Ki，则可以指针Ai所指子树中的最小关键字Y代替Ki，然后在相应结点中删除Y。对任意关键字的删除都可以转化为对最下层关键字的删除。

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