中国剩余定理以及拉格朗日插值

来源：互联网发布：windows运维书籍编辑：程序博客网时间：2024/06/13 23:37

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鉴于在博客中写公式略显难看，有碍观瞻，博客中的内容我都事先用latex写了一个pdf的文档，可以在下链接下载

http://download.csdn.net/detail/xue_haiyang/7640513

下面所写的难免有各种错误，还请留言批评指正（欢迎任意的批评交流）

下步计划：1，RSA-OAEP 2，素数检测

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《孙子算经》中，记载这样一个问题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，
七七数之剩二，问物几何。”用现在的话来说就是：“有一批物品，3个3个地数余2个，5个5个地数余3个，7个7个地数余2个，问这批物品最少有多少个?” 这是数论上的一个一元线性同余方程组问题，而中国剩余定理正是为了解决这样的问题。我这里并不是试图给出中国剩余定理的严格证明，而是从一个比较好理解的角度来分析下中国剩余定理，

中国剩余定理

回忆上节的中国剩余定理是说

对于互素的数 $N_1, N_2, \cdots, N_s$ , 和 $N=N_1N_2\cdots N_2$ , 并且知道
$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv m_1 \mod N_1\\m &\equiv m_2 \mod N_2\\~~~~~\cdots\\m &\equiv m_s \mod N_\end{aligned} \right.$ , 如果记 $n_i=N/N_i$, $\overline{n}_i=n_i^{-1}\mod N_i$ , 则
$m=\sum_{i=1}^s (n_i\overline{n}_i)m_i\mod N.$

为了好理解，我先分析三个方程的问题，也就是给定
$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv m_1 \mod N_1\\m &\equiv m_2 \mod N_2\\m &\equiv m_s \mod N_3\end{aligned} \right.$
求 $m$ ? 我们看看 $m$ 是不是

$(n_1\overline{n}_1)m_1+(n_2\overline{n}_2)m_2+(n_3\overline{n}_3)m_3\mod N$ ?

如果记 $n_1=N_2N_3, n_2=N_1N_3, n_3=N_1N_2$

并且 $\overline{n}_1=n^{-1}_1\mod N_1$ , $\overline{n}_2=n^{-1}_2\mod N_2$ , $\overline{n}_3=n^{-1}_3\mod N_2$$ ,

则有下面

$\begin{array}{cccc} \mod N & \mod N_1 & \mod N_2 & \mod N_3 \\ \hline m & m_1 & m_2 & m_3 \\ n_1\overline{n}_1 & 1 & 0 & 0 \\ n_2\overline{n}_2 & 0 & 1 & 0 \\ n_3\overline{n}_3 & 0 & 0 & 1\end{array}$

其中每一列代表模第一个元素的值. 可见对于 $i=1, 2, 3$ ,
$$(n_1\overline{n}_1)m_1+(n_2\overline{n}_2)m_2+(n_3\overline{n}_3)m_3\mod N_i$ 是 $m_i$

为了进一步看清楚中国剩余定理，或者更傻的直观看中国剩余定理
我们看下下面的问题

$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv 0 \mod 2\\m &\equiv 1 \mod 3\\m &\equiv 2 \mod 5 \end{aligned} \right.$

如果记 $n_1=15, n_2=10, n_3=6$

并且 $\overline{n}_1=n^{-1}_1=1\mod 2$ , $\overline{n}_2=n^{-1}_2=1\mod 3$ , $\overline{n}_3=n^{-1}_3=1\mod 5$ ,

则有下面
$\begin{array}{cccc} \mod 30 & \mod 2 & \mod 3 & \mod 5 \\ \hline m & 0 & 1 & 2\\ 15 & 1 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 0 & 1\end{array}$

则 $m=0\times 15\times 1+1\times 10\times 1+2\times 6\times 1=22$ ,

图形展示

下面看看图形吧
对于问题
$$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv 1 \mod 3\\m &\equiv 2 \mod 5 \end{aligned} \right.$ ,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，那么蓝红重合的一点正是要求的7.

三个才过瘾，看看三个的图形
$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv 0 \mod 2\\m &\equiv 1 \mod 3\\m &\equiv 2 \mod 5 \end{aligned} \right.$ ,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，三角折线和坐标的交点是模2为0的，那么蓝红和交点的重合的一点正是要求的22.

能不能从坐标的角度看这个问题的
$\left\{ \begin{aligned}m &\equiv 1 \mod 3\\m &\equiv 2 \mod 5 \end{aligned} \right.$ ,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，中间的线是$x=y$这条线，那么蓝红重合的一点正是要求的7.

下面的问题呢？
$\left\{ \begin{aligned}2m &\equiv 1 \mod 3\\m &\equiv 2 \mod 5 \end{aligned} \right.$ ,
可以下面的图形蓝色线是模5为2的，红色线是模3为1的，中间的这条线是模15意义下的$y=2x$, 那么蓝红重合的一点正是要求的7.

站高点看

好了，下面从高一点的高度看中国剩余问题
实际上这是在考虑整数环的同构定理
$Z/N\cong Z/N_1\oplus Z/N_2\oplus Z/N_3.$

$\begin{array}{cccc} Z/N & Z/N_1 & Z/N_2 & Z/N_3 \\ \mod N & \mod N_1 & \mod N_2 & \mod N_3 \\ \hline m & m_1 & m_2 & m_3 \\ n_1\overline{n}_1 & 1 & 0 & 0 \\ n_2\overline{n}_2 & 0 & 1 & 0 \\ n_3\overline{n}_3 & 0 & 0 & 1\end{array}$

插值公式

下面看看传说中的拉格朗日差值公式。实际上这个同中国剩余定理一样是一个交换环上的同构定理，

只不过这个是在多项式环上而已.

我们考虑一个二次多项式 $f(x)=ax^2+bx+c$ , 给定三对点 $(a_1, b_1),(a_2, b_2),(a_3, b_3)$ 求多项式的问题。

令 $f_1=(x-a_2)(x-a_3)$ , $f_1=(x-a_1)(x-a_3)$ , $f_1=(x-a_1)(x-a_2)$ ,

$\overline{f}_1=f^{-1}_1=\frac{1}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}\mod (x-a_1)$ ,

$\overline{f}_2=f^{-1}_2=\frac{1}{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}\mod (x-a_2)$ ,

$\overline{f}_3=f^{-1}_3=\frac{1}{(a_3-a_2)(a_3-a_2)}\mod (x-a_3)$ ,

$F[x]/(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\cong F[x]/(x-a_1)\oplus F[x]/(x-a_2)\oplus F[x]/(x-a_3).$

$\begin{array}{cccc} F[x]/(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) & F[x]/(x-a_1) &F[x]/(x-a_2) & F[x]/(x-a_3) \\ \mod (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) & \mod (x-a_1) & \mod (x-a_2) & \mod (x-a_3) \\ \hline m & b_1 & b_2 & b_3 \\ f_1\overline{f}_1 & 1 & 0 & 0 \\ f_2\overline{f}_2 & 0 & 1 & 0 \\ f_3\overline{f}_3 & 0 & 0 & 1\end{array}$

$f=b_1\frac{(x-a_2)(x-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}+b_2\frac{(x-a_1)(x-a_3)}{(a_2-a_1)(a_2-a_3)}+b_3\frac{(x-a_1)(x-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)}.$

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