KM算法

先说KM算法求二分图的最佳匹配思想，再详讲KM的实现。
【KM算法求二分图的最佳匹配思想】

对于具有二部划分( V1, V2 )的加权完全二分图，其中 V1= { x1, x2, x3, ... , xn }， V2= {y1, y2, y3, ... , yn }，边< xi, yj>具有权值 W_i,j。该带权二分图中一个总权值最大的完美匹配，称之为最佳匹配。

 

记 L(x) 表示结点 x的标记量，如果对于二部图中的任何边<x,y>，都有 L(x)+L(y)>= W_x,y，我们称L 为二部图的可行顶标。

设 G(V,E) 为二部图， G'(V,E') 为二部图的子图。如果对于 G'中的任何边<x,y> 满足， L(x)+ L(y)==W_x,y，我们称G'(V,E') 为 G(V,E) 的等价子图。

 

定理一：设 L 是二部图 G 的可行顶标。若 L 等价子图 G_L 有完美匹配M，则 M 是 G 的最佳匹配。

证明：由于 G_L 是G 的等价子图，M 是 G_L 的完美匹配，所以，M也是 G  的完美匹配。以由于对于匹配 M 的每条边 e ，都有 e∈ E(G_L )，而且M 中每条边覆盖每个顶点正好一次，所以

W( M )= å W(e),e∈ M = å L(x),x∈ V

另一方面，对于 G 的任何完美匹配 M' 有

W( M' )= å W(e),e∈M' <= å L(x),x∈ V

于是 W( M )>= W( M' )，即 M 是G 的最优匹配。

 

由上述定理，我们可以通过来不断修改可行顶标，得到等价子图，从而求出最佳匹配。

就像匈牙利算法一样，我们依次为每一个顶点 i寻找增广路径，如果寻找增广路径失败，我们就修改相应的可行顶标，来得到增广路径。

如图：

|  1 2  3 |

|  3 2  4 |

|  2 3  5 |

若要对这个完全二分图求最佳匹配

 

初始化：

Lx(1)= max{ y| w(1,y), 1<= y<= 3 }=max{ 1, 2, 3 }= 3, Ly(1)= 0

Lx(2)= max{ 3, 2, 4 }= 4, Ly(2)= 0

Lx(3)= max{ 2, 3, 5 }= 5, Ly(3)= 0;

我们建立等价子图( 满足 Lx(x)+ Ly(y)== W(x,y) ) 如下：

对于该图，运用匈牙利算法对 X 部顶点 1 求增广路径，得到一个匹配，如图(红色代表匹配边 )：

 对 X 部顶点 2 求增广路径失败，寻找增广路径的过程为 X2-> Y 3-> X 1。我们把寻找增广路径失败的 DFS的交错树中，在 X 部顶点集称之为 S， 在 Y 部的顶点集称之为 T。则 S= { 1, 2 }，T= { 3}。现在我们就通过修改顶标值来扩大等价子图，如何修改。

 

1)   我们寻找一个 d 值，使得d= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y), x∈ S,y∉ T }，因些，这时 d= min{

Lx(1)+Ly(1)-W(1,1), Lx(1)+Ly(2)-W(1,2), Lx(2)+Ly(1)-W(2,1),  Lx(2)+Ly(2)-W(2,2)}=

min{ 3+0- 1, 3+0-2, 4+0-3,  4+0-2 }= min{ 2, 1, 1, 2 }=1。

寻找最小的 d 是为了保证修改后仍满足性质对于边 <x,y> 有Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)。

 

2)   然后对于顶点 x

1. 如果 x∈ S 则 Lx(x)= Lx(x)- d。

2. 如果 x∈ T 则 Ly(x)= Ly(x)+ d。

3. 其它情况保持不变。

如此修改后，我们发现对于边<x,y>，顶标 Lx(x)+ Ly(y)的值为

1.  Lx(x)- d+ Ly(y)+d，  x∈ S,y∈ T。

2.  Lx(x)+Ly(y)，  x∉ S, y∉ T。

3.  Lx(x)- d+ Ly(y)， x∈ S,y∉ T。

4.  Lx(x)+ Ly(y)+ d，x∉ S, y∈ T。

易知，修改后对于任何边仍满足 Lx(x)+ Ly(y)>= W(x,y)，并且第三种情况顶标值减少了d，如此定会使等价子图扩大。

 

就上例而言: 修改后 Lx(1)= 2, Lx(2)= 3, Lx(3)= 5, Ly(1)= 0, Ly(1)= 0, Ly(2)=0, Ly(3)= 1。

这时 Lx(2)+Ly(1)=3+0=3= W(2,1)，在等价子图中增加了一条边，等价子图变为：

 

如此按以上方法，得到等价子图的完美匹配。

 

另外计算 d 值的时候可以进行一些优化。

定义 slack(y)= min{ (x,y)| Lx(x)+ Ly(y)- W(x,y)，x∈ S, y∉ T }

这样能在寻找增广路径的时候就顺便将 slack 求出。

（以上为摘上网络）

【KM算法及其具体过程】
（1）可行点标：每个点有一个标号，记lx[i]为X方点i的标号，ly[j]为Y方点j的标号。如果对于图中的任意边(i, j,W)都有lx[i]+ly[j]>=W，则这一组点标是可行的。特别地，对于lx[i]+ly[j]=W的边(i, j,W)，称为可行边；
（2）KM算法的核心思想就是通过修改某些点的标号（但要满足点标始终是可行的），不断增加图中的可行边总数，直到图中存在仅由可行边组成的完全匹配为止，此时这个匹配一定是最佳的（因为由可行点标的的定义，图中的任意一个完全匹配，其边权总和均不大于所有点的标号之和，而仅由可行边组成的完全匹配的边权总和等于所有点的标号之和，故这个匹配是最佳的）。一开始，求出每个点的初始标号：lx[i]=max{e.W|e.x=i}（即每个X方点的初始标号为与这个X方点相关联的权值最大的边的权值），ly[j]=0（即每个Y方点的初始标号为0）。这个初始点标显然是可行的，并且，与任意一个X方点关联的边中至少有一条可行边；
（3）然后，从每个X方点开始DFS增广。DFS增广的过程与最大匹配的Hungary算法基本相同，只是要注意两点：一是只找可行边，二是要把搜索过程中遍历到的X方点全部记下来（可以用vst搞一下），以进行后面的修改；
（4）增广的结果有两种：若成功（找到了增广轨），则该点增广完成，进入下一个点的增广。若失败（没有找到增广轨），则需要改变一些点的标号，使得图中可行边的数量增加。方法为：将所有在增广轨中（就是在增广过程中遍历到）的X方点的标号全部减去一个常数d，所有在增广轨中的Y方点的标号全部加上一个常数d，则对于图中的任意一条边(i, j, W)（i为X方点，j为Y方点）：
<1>i和j都在增广轨中：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变（原来是可行边则现在仍是，原来不是则现在仍不是）；
<2>i在增广轨中而j不在：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])的值减少了d，也就是原来这条边不是可行边（否则j就会被遍历到了），而现在可能是；
<3>j在增广轨中而i不在：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])的值增加了d，也就是原来这条边不是可行边（若这条边是可行边，则在遍历到j时会紧接着执行DFS(i)，此时i就会被遍历到），现在仍不是；
<4>i和j都不在增广轨中：此时边(i,j)的(lx[i]+ly[j])值不变，也就是这条边的可行性不变。
这样，在进行了这一步修改操作后，图中原来的可行边仍可行，而原来不可行的边现在则可能变为可行边。那么d的值应取多少？显然，整个点标不能失去可行性，也就是对于上述的第<2>类边，其lx[i]+ly[j]>=W这一性质不能被改变，故取所有第<2>类边的(lx[i]+ly[j]-W)的最小值作为d值即可。这样一方面可以保证点标的可行性，另一方面，经过这一步后，图中至少会增加一条可行边。
（5）修改后，继续对这个X方点DFS增广，若还失败则继续修改，直到成功为止；
（6）以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路，每次增广最多需要修改O(n)次顶标，每次修改顶标时由于要枚举边来求d值，复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack，每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中，检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样，在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点：修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去d。