集训日志（一）线段树

 

 

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。

对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN）。而未优化的空间复杂度为2N，因此有时需要离散化让空间压缩。

 

线段树是建立在线段的基础上，每个结点都代表了一条线段[a,b]。长度为1的线段称为元线段。非元线段都有两个子结点，左结点代表的线段为[a,(a + b) / 2]，右结点代表的线段为[((a + b) / 2）+1,b]。

下图就是一棵长度范围为[1,9]的线段树。

长度范围为[1,L] 的一棵线段树的深度为log (L) + 1。这个显然，而且存储一棵线段树的空间复杂度为O(L）。

线段树支持最基本的操作为插入和删除一条线段。下面以插入为例，详细叙述，删除类似。

将一条线段[a,b] 插入到代表线段[l,r]的结点p中，如果p不是元线段，那么令mid=（l+r）/2。如果b<mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的左儿子结点中，如果a>mid，那么将线段[a,b] 也插入到p的右儿子结点中。

插入（删除）操作的时间复杂度为O（logn）。

 

 

 

 

 

线段树的特征:

1、线段树的深度不超过log2(n)+1   (n是根节点对应区间的长度)。

2、线段树上，任意一个区间被分解后得等到终止节点数目都是log(n)量级。

线段树上更新叶子节点和进行区间分解时间复杂度都是O(log(n))的，这些特点为线段树在较短时间内完成插入数据，更新数据，查找，统计等工作提供了理论依据。

 

做线段树题，至少支持下列操作:

1、bulid 新建一棵线段树

2、insert 将包含在某个区间内的元素全部插入树中

3、query 查询某个区间内的值，如果有变动就记录在全局变量里。

 

关键点：用线段树解题时，一定要想清楚每个节点要存哪些信息，以及这些信息如何高效更新，维护，查询。不要一更新就涉及到叶子节点，那样更新效率最坏就变成O(n)的了。

 

例题：POJ 3264 Balanced Lineup

给定Q（1<=Q<=200,000）个数AQ，多次求任意区间内Ai-Aj中最大数和最小数的差。

Sample input：

6 3   (6个数，3次查询)

1

7

3

4

2

5

1 5

4 6

2 2

 

Sample Output:

6

3

0

 

先写节点：

struct Cnode

{

  int L,R; //区间起点和终点

  int minV,maxV; //本区间里的最大最小值

  Cnode *pleft .*pright;

}

一般在写节点时，可以使用左右节点指针，也可以换成一个数组root存放线段树。根节点下标为0，假设线段树上某节点下表为i，则：

左子节点下标为i*2+1，右子节点下标为 i*2+2，

如果用一位数组存放线段树，而且根节点区间为[1,n]，一般数组需要用4n个元素(直接记住)。

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int INF=0xffffff;int minV=INF;int maxV=-INF;struct node{int L,R;int minV,maxV;int mid(){return (L+R)/2;}}tree[1600010];void build(int root,int L,int R){        tree[root].L=L;        tree[root].R=R;        tree[root].minV=INF;        tree[root].maxV=-INF;    if(L!=R)    {        build(2*root,L,(L+R)/2);        build(2*root+1,(L+R)/2+1,R);    }}void insert (int root,int i,int v)//将第i个数，其值为v，插入线段树{    if (tree[root].L==tree[root].R)    {        tree[root].minV=v;        tree[root].maxV=v;        return ;    }    tree[root].minV=min(tree[root].minV,v);    tree[root].maxV=max(tree[root].maxV,v);    if(i<=tree[root].mid())        insert(root*2,i,v);    else        insert(root*2+1,i,v);}void query(int root,int s,int e)//查询区间[s,e]中的最小值和最大值，如果更优就记在全局变量里{    if(tree[root].minV>=minV && tree[root].maxV<=maxV)    return ;    if(tree[root].L==s && tree[root].R==e)    {        maxV=max(tree[root].maxV,maxV);        minV=min(tree[root].minV,minV);        return;    }    if (e<=tree[root].mid())        query(root*2,s,e);    else if (s>tree[root].mid())        query(root*2+1,s,e);    else     {        query(root*2,s,tree[root].mid());        query(root*2+1,tree[root].mid()+1,e);    }}int main(){    int N,T,h;    cin>>N>>T;    build(1,1,N);    for (int i=1;i<=N;i++)    {        cin>>h;        insert(1,i,h);    }    for (int i=1;i<=T;i++)    {        int s,e;        cin>>s>>e;        minV=INF;        maxV=-INF;        query(1,s,e);        cout<<maxV-minV<<endl;    }    return 0;}