最大重叠点

题目：

分析与思考：

            这个问题其实不用用b部分提示的那么做，感觉比较复杂。我感觉这种方法不错：首先将n个区间的2n个端点从小到大排序;用一个集合S（顺序统计树，集合中的元素以区间左端点的大小为序）来记录当前发生重叠的区间，初始化S为空。
遍历2n个端点
{
    如果该点为某区间左端点
    {
        将对应区间加入S中；
        该区间在S中的（顺序统计）位置，就是该（左端）点对应的重叠个数，如有必要则更新最大重叠个数；
    }
    如果该点为某区间右端点
    {
        将对应区间从S中删除；
    }

}
 这个方法就是求矩形重叠。只不过从判断矩形重叠是否存在后就返回，变为每次插入结点后，就判断结点在区间树的位置，这个位置就是重叠数，然后不断更新最大重叠结点，最后等着2n个端点都遍历完了，就知道其中的最大重叠端点。

程序代码：

归并排序头文件：

 struct Array{int key;int index;};void MERGE(struct Array B[],int p,int q,int r){    int n1=q-p+1,n2=r-q,flag=-1,i,j;//不能为数组A里面的数。    struct Array *L=new struct Array[n1];    struct Array *R=new struct Array[n2];    for (i=1;i<=n1;i++)    {        L[i-1].key=B[p+i-1].key;L[i-1].index=B[p+i-1].index;    }    for (j=1;j<=n2;j++)    {        R[j-1].key=B[q+j].key;R[j-1].index=B[q+j].index;    }    L[n1].key=flag;    R[n2].key=flag;    i=0;j=0;    for (int k=p;k<=r;k++)    {        if (L[i].key==flag)        {            B[k].key=R[j].key;B[k].index=R[j].index;            j++;        }        else if (R[j].key==flag)        {            B[k].key=L[i].key;            B[k].index=L[i].index;            i++;        }        else if (L[i].key<=R[j].key)        {            B[k].key=L[i].key;B[k].index=L[i].index;            i++;        }        else         {            B[k].key=R[j].key;B[k].index=R[j].index;            j++;        }    }}void MERGE_SORT(struct Array B[],int p,int r){    if (p<r)    {        int q=(p+r)/2;        MERGE_SORT(B,p,q);        MERGE_SORT(B,q+1,r);        MERGE(B,p,q,r);    }}

主函数+区间树：

#include <iostream>#include <conio.h>#include "MERGE_SORT.h"using namespace std;#define BLACK 0#define RED 1#define Nil -1#define LEN sizeof(struct Tree)#define n 12//区间个数struct Tree*root=NULL;struct Tree*nil=NULL;struct interval{int low,high;};struct Tree{struct Tree*right,*left;struct Tree*parent;struct interval Int;int flag;//1表示已经走过了该区间的左端点，0表示还未到左端点int Max;int key;int color;int size;};int MAX(int a,int b,int c){int temp=a>b?a:b;return temp>c?temp:c;}void LEFT_ROTATE(struct Tree*x){//左旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。struct Tree*y=x->right;//设置y结点。x->right=y->left;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①if(y->left!=nil){       y->left->parent=x;}y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②if(x->parent==nil){       root=y;}else if(x==x->parent->left){       x->parent->left=y;}else x->parent->right=y;y->left=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③x->parent=y;y->Max=x->Max;x->Max=MAX(x->Int.high,x->left->Max,x->right->Max);y->size = x->size;  //对附加信息的维护    x->size = x->left->size + x->right->size +1; }void RIGHT_ROTATE(struct Tree*x){//右旋转：分三个步骤①②③来叙述旋转代码的。struct Tree*y=x->left;//设置y结点。x->left=y->right;//本行代码以及下面的if结构表达的是“y的左孩子成为x的右孩子”。①if(y->right!=nil){y->right->parent=x;}y->parent=x->parent;//本行代码以及下面的if-else结构表达的过程是“y成为该子树新的根”。②if(x->parent==nil){root=y;}else if(x==x->parent->right){x->parent->right=y;}else x->parent->left=y;y->right=x;//本行代码以及下面一行都表达了“x成为y的左孩子”。③x->parent=y;y->Max=x->Max;x->Max=MAX(x->Int.high,x->left->Max,x->right->Max);y->size = x->size;  //对附加信息的维护    x->size = x->left->size + x->right->size +1; }void RB_INSERT_FIXUP(struct Tree*z){   while (z->parent->color==RED)   {   if (z->parent==z->parent->parent->left)   {   struct Tree*y=z->parent->parent->right;//叔结点   if (y->color==RED)//情况一：叔结点为红色   {//给p1,y,p2着色以保持性质5。并且解决了z的父结点和z都是红色结点问题   z->parent->color=BLACK;   y->color=BLACK;   z->parent->parent->color=RED;   z=z->parent->parent;//把z的祖父结点当成新结点z进入下一次循环   }    else    {   if (z==z->parent->right)//情况二：检查z是否是一个右孩子且叔结点为黑色，前提是p1结点不是叶子结点   {//使用一个左旋让情况2转变为情况3   z=z->parent;   LEFT_ROTATE(z);//由于进入if语句后可知旋转结点不可能是叶子结点，这样就不用判断z是否是叶子结点了。   }                z->parent->color=BLACK;//情况三：是z是一个左孩子且叔结点为黑色，改变z的父和祖父结点颜色并做一次右旋，以保持性质5   z->parent->parent->color=RED;   RIGHT_ROTATE(z->parent->parent);//由于p2可能是叶子结点，所以最好还是用一个if判断   }   }    else//下面else分支类似于上面,注意到else分支的情况2和情况3所做旋转正好是if分支情况的逆。   {   struct Tree*y=z->parent->parent->left;   if (y->color==RED)   {   z->parent->color=BLACK;   y->color=BLACK;   z->parent->parent->color=RED;   z=z->parent->parent;   }    else    {   if (z==z->parent->left)   {   z=z->parent;   RIGHT_ROTATE(z);   }                z->parent->color=BLACK;   z->parent->parent->color=RED;   LEFT_ROTATE(z->parent->parent);   }   }   }   root->color=BLACK;//最后给根结点着为黑色。}void RB_INSERT(struct Tree* z){z->key=z->Int.low;struct Tree*y=nil;struct Tree*x=root;while (x!=nil){y=x;x->size++;x->Max=MAX(x->Int.high,x->Max,z->Int.high);if (z->key<x->key){x=x->left;}else x=x->right;}z->parent=y;if (y==nil){root=z;} else if(z->key<y->key){y->left=z;}else y->right=z;z->left=nil;//给插入结点左右孩子赋值为空。z->right=nil;z->color=RED;//给插入结点着为红色。z->Max=z->Int.high;//+z->size=1;z->left->size=0;z->right->size=0;RB_INSERT_FIXUP(z);}void RB_TRANSPLANT(struct Tree*u,struct Tree*v){if (u->parent==nil)root=v;else if(u==u->parent->left)u->parent->left=v;else u->parent->right=v;v->parent=u->parent;}//非递归版本的查找二叉查找树的最小值struct Tree*ITERATIVE_TREE_MINIMUM(struct Tree*x){while (x->left!=nil){x=x->left;}return x;}//非递归版本的二叉查找树查找函数struct Tree*ITERATIVE_TREE_SEARCH(struct Tree*x,int k){while (x!=nil&&k!=x->key){if (k<x->key){x=x->left;}else x=x->right;}return x;}void RB_DELETE_FIXUP(struct Tree*x){ struct Tree*w=NULL;//w是x的兄弟结点     while (x!=root&&x->color==BLACK)//如果x是黑色并且不是根结点，才进行循环。     {//x是一个具有双重颜色的结点，调整的目的是把x的黑色属性向上移动。 if (x==x->parent->left) { w=x->parent->right; if (w->color==RED)//情况一：x的兄弟结点w是红色的。 {//改变w和x.p的颜色+一次旋转使其变为情况二，三，四。 w->color=BLACK; x->parent->color=RED; LEFT_ROTATE(x->parent); w=x->parent->right; } if (w->left->color==BLACK&&w->right->color==BLACK)//情况二：x的兄弟结点w是黑色的，而且w的两个子节点都是黑色。 { w->color=RED;//从x和w上去掉一重黑色。x还是黑色，而w变为红色。 x=x->parent;//x结点向上移动成为新的待调整结点。 } else { if (w->right->color==BLACK)//情况三：x的兄弟结点w是黑色的，w的左孩子是红色的，w的右孩子是黑色的。 {//交换w和w.left的颜色+旋转使其转变为情况四。 w->left->color=BLACK; w->color=RED; RIGHT_ROTATE(w); w=x->parent->right; } w->color=x->parent->color;//以下是情况四：x的兄弟结点w是黑色的，且w的右孩子是红色的。 x->parent->color=BLACK;//置x.p和w.right为黑色+旋转使其去掉x的额外黑色。 w->right->color=BLACK; LEFT_ROTATE(x->parent); x=root;//x成为根结点，结束循环。 } }  else//以下和上面的if分支类似，不做累述。 {             w=x->parent->left; if (w->color==RED) { w->color=BLACK; x->parent->color=RED; RIGHT_ROTATE(x->parent); w=x->parent->left; } if (w->left->color==BLACK&&w->right->color==BLACK) { w->color=RED; x=x->parent; } else { if (w->left->color==BLACK) { w->right->color=BLACK; w->color=RED; LEFT_ROTATE(w); w=x->parent->left; } w->color=x->parent->color; x->parent->color=BLACK; w->left->color=BLACK; RIGHT_ROTATE(x->parent); x=root; } }     } x->color=BLACK;}void RB_DELETE(struct Tree*z){    struct Tree*y=z,*x;//y为待删除或待移动结点int y_original_color=y->color;//保存y的原始颜色，为做最后的调整做准备。struct Tree*t=z->parent;if (z->left==nil){while (t!=nil){t->size--;t=t->parent;}x=z->right;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上RB_TRANSPLANT(z,z->right);//把以z.right为根的子树替换以z为根的子树。}else if (z->right==nil){while (t!=nil){t->size--;t=t->parent;}x=z->left;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上RB_TRANSPLANT(z,z->left);//把以z.left为根的子树替换以z为根的子树。}else {y=ITERATIVE_TREE_MINIMUM(z->right);//找到z.right的后继。struct Tree*t=y->parent;y->size=z->size-1;//y替换z原来的位置，所以size属性在待删除结点z基础上-1while (t!=nil){t->size--;t=t->parent;}        y_original_color=y->color;//y的新的原始结点被重置。x=y->right;//x指向y的唯一子结点或者是叶子结点，保存x的踪迹使其移动到y的原始位置上if (y->parent==z){x->parent=y;//由于z的父结点是要删除的结点，所以不能指向它，于是指向y} else{RB_TRANSPLANT(y,y->right);//把以y.right为根的子树替换以y为根的子树。y->right=z->right;y->right->parent=y;}RB_TRANSPLANT(z,y);//把以y为根的子树替换以z为根的子树。y->left=z->left;y->left->parent=y;y->color=z->color;//把已经删除的结点颜色赋值给y，保证了y以上的树结构红黑性质不变。}struct Tree*k=x->parent;while (k!=nil){k->Max=MAX(k->left->Max,k->right->Max,k->Int.high);k=k->parent;}if(y_original_color==BLACK) //y的原始颜色为黑色，说明需要调整红黑颜色。RB_DELETE_FIXUP(x);}bool overlap(struct interval x,struct interval i){if (x.high<i.low||i.high<x.low){return  true;//没有重叠} else{return false;}}struct Tree *INTERVAL_SEARCH(struct Tree *T,struct interval i){   struct Tree *x=T;   while (x!=nil&&overlap(x->Int,i))   {   if (x->left!=nil&&x->left->Max>=i.low)   {   x=x->left;   }   else x=x->right;   }   return x;}struct Tree*OS_SELECT(struct Tree*x,int i)//查找顺序统计树给定秩的元素{int r=x->left->size+1;if (i==r){return x;}else if (i<r){return OS_SELECT(x->left,i);}else return OS_SELECT(x->right,i-r);}int ITERATIVE_OS_RANK(struct Tree*T,struct Tree*x)//确定顺序统计树的秩{int r=x->left->size+1;struct Tree*y=x;while (y!=root){if (y==y->parent->right){r=r+y->parent->left->size+1;}y=y->parent;}return r;}struct Tree* FIND_POM(struct Tree A[],struct Array B[]){//判断n个矩阵是否重叠，运行时间为O(nlgn)int i=1,t=0,M=0;struct Tree*MAX=NULL;while (i!=2*n){if (A[B[i].index].flag==0)//0代表矩形Ri的纵坐标的还未进入扫描线。{struct Tree*z=new struct Tree[LEN];z->key=A[B[i].index].Int.low;z->Int.low=A[B[i].index].Int.low;z->Int.high=A[B[i].index].Int.high;A[B[i].index].flag=1;RB_INSERT(z);//将这个矩形插入进区间树t=ITERATIVE_OS_RANK(root,z);if (t>M){M=t;MAX=z;}} else//否则，矩形Ri的纵坐标进入过扫描线了，那么遇到的横坐标(B[i].key代表横坐标)必然是Ri的高端点。{if (i==2*n-1||A[B[i+1].index].Int.low!=A[B[i].index].Int.high){struct Tree*z=ITERATIVE_TREE_SEARCH(root,A[B[i].index].Int.low);//先找到区间树中的这个结点。    RB_DELETE(z);//从区间树中删除这个矩形。}}i++;}return MAX;}void init(struct Tree A[],struct Array B[]){//区间树初始化。nil=new struct Tree[LEN];//设置叶子结点nil->key=Nil;nil->color=BLACK;root=nil;int i=0;struct Tree*z=new struct Tree[LEN];//设置根结点。z->key=A[B[i].index].Int.low;z->Int.low=A[B[i].index].Int.low;    z->Int.high=A[B[i].index].Int.high;RB_INSERT(z);root=z;A[B[i].index].flag=1;}void main(){struct Tree A[n]={0};struct Array B[2*n]={0};for (int i=0,j=0;i<n,j<2*n;i++,j+=2){cout<<"请输入第"<<i<<"个矩阵的数据："<<endl;cout<<" y的低端点=";cin>>A[i].Int.low;cout<<" y的高端点=";cin>>A[i].Int.high;B[j].key=A[i].Int.low;B[j+1].key=A[i].Int.high;B[j].index=i;B[j+1].index=i;}MERGE_SORT(B,0,2*n-1);//归并排序，时间为O(nlgn)init(A,B);cout<<FIND_POM(A,B)->key<<endl;}

总结：

         和14.3-7求重叠矩形类似，换汤不换药。由于要循环遍历这2n个端点，并且每次遍历时要进行插入删除操作顺便记录最大值，所以运行时间是O(nlgn)，而《教师手册》说FIND_POM函数只需要O(1)时间，这是因为没有算上插入的时间。如果要查找这n个区间的最大重叠点肯定要进行插入组成一棵树，总的时间不会少于O(nlgn)的，而本文的FIND_POM操作把组建这棵树的时间也算在内了。总得来说，两种方法差不多，只是本文的方法比较简单易懂罢了。参考资料：这里有相关问题的讨论