精度处理的问题

1.浮点数为啥会有精度问题：

浮点数(以C/C++为准)，一般用的较多的是float,double。

 

占字节数

数值范围

十进制精度位数

float

4

-3.4e-38～3.4e38

6~7

double

8

-1.7e-308～1.7e308

14~15

如果内存不是很紧张或者精度要求不是很低，一般选用double。14位的精度(是有效数字位，不是小数点后的位数)通常够用了。注意，问题来了，数据精度位数达到了14位，但有些浮点运算的结果精度并达不到这么高，可能准确的结果只有10~12位左右。那低几位呢？自然就是不可预料的数字了。这给我们带来这样的问题：即使是理论上相同的值，由于是经过不同的运算过程得到的，他们在低几位有可能(一般来说都是)是不同的。这种现象看似没太大的影响，却会一种运算产生致命的影响: ==。恩，就是判断相等。注意，C/C++中浮点数的==需要完全一样才能返回true。来看下面这个例子:

#include

#include

int main()

{

double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;

double b = acos(-1.0);

printf(" a = %.20lf\n", a);

printf(" b = %.20lf\n", b);

printf(" a - b = %.20lf\n", a -b);

printf("a == b = %d\n", a == b);

return 0;

}

输出：

a = 3.14159265358979360000

b = 3.14159265358979310000

a - b = 0.00000000000000044409

a == b = 0

我们解决的办法是引进eps，来辅助判断浮点数的相等。

2.eps

eps缩写自epsilon，表示一个小量，但这个小量又要确保远大于浮点运算结果的不确定量。eps最常见的取值是1e-8左右。引入eps后，我们判断两浮点数a、b相等的方式如下:

定义三出口函数如下: intsgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;}

则各种判断大小的运算都应做如下修正:

传统意义

修正写法

a == b

fabs(a – b) < eps

a != b

fabs(a – b) > eps

a < b

a – b < -eps

a <= b

a – b < eps

a > b

a – b > eps

a >= b

a – b > -eps

这样，我们才能把相差非常近的浮点数判为相等;同时把确实相差较大(差值大于eps)的数判为不相等。

PS:养成好习惯，尽量不要再对浮点数做==判断。例如，我的修正写法里就没有出现==。

3.eps带来的函数越界

如果sqrt(a),asin(a), acos(a)中的a是你自己算出来并传进来的，那就得小心了。

如果a本来应该是0的，由于浮点误差，可能实际是一个绝对值很小的负数(比如1e-12),这样sqrt(a)应得0的，直接因a不在定义域而出错。

类似地，如果a本来应该是±1,则asin(a)、acos(a)也有可能出错。

因此，对于此种函数，必需事先对a进行校正。

4.输出陷阱I

这一节和下一节一样，都是因为题目要求输出浮点数，导致的问题。而且都和四舍五入有关。

说到四舍五入，就再扯一下相关内容,据我所知有三种常见的方法:

1. printf(“%.3lf”, a); //保留a的三位小数，按照第四位四舍五入。

2. (int)a; //将a靠进0取整

3. ceil(a); floor(a); //顾名思义，向上取证、向下取整。需要注意的是，这两个函数都返回double，而非int

其中第一种很常见于输出(nonsense…)。

现在考虑一种情况,题目要求输出保留两位小数。有个case的正确答案的精确值是0.005,按理应该输出0.01,但你的结果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲剧),如果按照printf(“%.2lf”,a)输出，那你的遭遇将和括号里的字相同。

解决办法是，如果a为正，则输出a+eps,否则输出a-eps

典型案例: POJ2826

5.输出陷阱II

ICPC题目输出有个不成文的规定(有时也成文)，不要输出: -0.000

那我们首先要弄清，什么时候按printf(“%.3lf\n”,a)输出会出现这个结果。

直接给出结果好了：a∈(-0.000499999……,-0.000……1)

所以，如果你发现a落在这个范围内，请直接输出0.000。更保险的做法是用sprintf直接判断输出结果是不是-0.000再予处理。

典型案例:UVA746

6.范围越界

这个严格来说不属于精度范畴了，不过凑数还是可以的。请注意，虽然double可以表示的数的范围很大，却不是不穷大，上面说过最大是1e308。所以有些时候你得小心了，比如做连乘的时候，必要的时候要换成对数的和。

典型案例:HDU3558

7.关于set

有时候我们可能会有这种需求，对浮点数进行插入、查询是否插入过的操作。手写hash表是一个方法(hash函数一样要小心设计)，但set不是更方便吗。但set好像是按==来判重的呀？貌似行不通呢。经观察,set不是通过==来判断相等的，是通过<来进行的，具体说来，只要将小于定义成: bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val -eps;}就可以解决问题了。 (基本类型不能重载运算符，所以封装了下)

8.输入值波动过大

这种情况不常见，不过可以帮助你更熟悉eps。假如一道题输入说，给一个浮点数a, 1e-20 < a < 1e20。那你还敢用1e-8做eps么？合理的做法是把eps按照输入规模缩放到合适大小。

典型案例: HUSTOJ1361

9.一些建议

容易产生较大浮点误差的函数有asin、 acos。欢迎尽量使用atan2。

另外，如果数据明确说明是整数，而且范围不大的话，使用int或者long long代替double都是极佳选择，因为就不存在浮点误差了。

 

注：atan2函数  

atan2(y,x)是表示X-Y平面上所对应的(x,y)坐标的角度，它的值域范围是(-Pi,Pi)  
用数学表示就是：atan2(y,x)=arg(y/x)-Pi  
当y<0时，其值为负，  
当y>0时，其值为正.