最小生成树之 prim算法和kruskal算法(以 hdu 1863为例)
来源:互联网 发布:近年物流业发展数据 编辑:程序博客网 时间:2024/06/07 08:18
最小生成树的性质
MST性质:设G = (V,E)是连通带权图,U是V的真子集。如果(u,v)∈E,且u∈U,v∈V-U,且在所有这样的边中,
(u,v)的权c[u][v]最小,那么一定存在G的一棵最小生成树,(u,v)为其中一条边。
构造最小生成树,要解决以下两个问题:
(1).尽可能选取权值小的边,但不能构成回路(也就是环)。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的n个顶点。
Prim算法的思想:
设G = (V,E)是连通带权图,V = {1,2,…,n}。先任选一点(一般选第一个点),首先置S = {1},然后,只要S是V的真子集,就选取满足条件i ∈S,j ∈V-S,且c[i][j]最小的边,将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
Prim算法代码
以 hdu 1863为例 (点击打开链接)
#include<stdio.h>#include<limits.h>#include<string.h>#define N 100int n,m,map[N+5][N+5],v[N+5],low[N+5];int prim(){ int i,j,pos,min,s=0; memset(v,0,sizeof(v)); //v[i]用来标记i是否已访问,先初始化为0,表示都未访问 v[1]=1; //先任选一点作为第一个点 pos=1; //pos用来标记当前选的点的下标 for(i=2;i<=n;i++) low[i]=map[1][i]; //用low数组存已选点到其他点的权值 for(i=1;i<n;i++){ min=INT_MAX; for(j=1;j<=n;j++) //求权值最小的边 if(!v[j]&&low[j]<min){ min=low[j]; pos=j; } if(min==INT_MAX) break; s+=min; v[pos]=1; for(j=1;j<=n;j++) //更新low数组 if(!v[j]&&map[pos][j]<low[j]) low[j]=map[pos][j]; } if(i!=n) s=-1; return s;}int main(){ int i,j,s,a,b,c; while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){ //m为道路数,n为村庄数 if(m==0) break; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) map[i][j]=INT_MAX; //先将map数组初始化为很大的值(int 最大值) for(i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); map[a][b]=map[b][a]=c; //map[a][b]存的从a到b的权值 } s=prim(); if(s==-1) printf("?\n"); else printf("%d\n",s); } return 0;}
Kruskal算法思想
给定无向连同带权图G = (V,E),V = {1,2,...,n}。
(1)首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小大排序。
(2)从第一条边开始,依边权递增的顺序检查每一条边。并按照下述方法连接两个不同的连通分支:当查看到第k条边(v,w)时,如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点是,就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支,然后继续查看第k+1条边;如果端点v和w在当前的同一个连通分支中,就直接再查看k+1条边。这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时,已构成G的一棵最小生成树。
Kruskal算法代码:
以 hdu 1863为例 (点击打开链接)
#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;int f[105],n,m;struct stu{ int a,b,c;}t[5500];int cmp(struct stu x,struct stu y){ return x.c<y.c;}int find(int x) //路径压缩,找父节点{ if(x!=f[x]) f[x]=find(f[x]); return f[x];}int krus(){ int i,k=0,s=0,x,y; for(i=1;i<=n;i++){ x=find(t[i].a); y=find(t[i].b); if(x!=y){ //最小生成树不能形成环,所以要判断它们的是否属于同一集合 s+=t[i].c; k++; if(k==m-1) //最小生成树会形成m-1(顶点-1)条边,若已形成,则最小生成树已构成 break; f[x]=y; //将父节点更新 } } if(k!=m-1) s=-1; return s;}int main(){ int i,s; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ if(n==0) break; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&t[i].a,&t[i].b,&t[i].c); for(i=1;i<=m;i++) //f[i]存的结点i的父亲,先将其父亲都初始化为其本身 f[i]=i; sort(t+1,t+1+n,cmp); //按权值从小到大排序 s=krus(); if(s==-1) printf("?\n"); else printf("%d\n",s); } return 0;}
注:若顶点数为n,边为e
prim算法适合稠密图,其时间复杂度为O(n^2),其时间复杂度与边的数目无关,
而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关,适合稀疏图。
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