最小生成树

 

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1.一个有n个顶点的连通图的生成树是原图的极小连通图，它包含原图中的所有n个顶点，并且具有保持图连通的最小的边。
显然有如下推论:
a.若删除生成树中的一条边，就会使该生成树因变成非连通图而不再满足生成树的定义；
b.若在生成树中增加一条边，就会使该生成树因存在回路而不再满足生成树的定义。
c.一个连通图的生成树可能有许多，使用不同寻找方法可以得到不同的生成树。
2.对于有n个顶点的无向图，无论它的生成树的形状如何，一定有n个顶点，有且只有n-1条边
3.如果无向连通图是一个带权图，那么它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，
我们称这棵生成树为最小代价生成树，简称为最小生成树。


4.构造有n个顶点的无向连通带权图的最小生成树必须满足以下三个要求：
   a.构造的最小生成树必须包括n个顶点；
   b.构造的最小生成树中有且只有n-1条边
   c.构造的最小生成树中部存在回路
5.构造最小生成树的典型方法有2种：一种称作普里姆（Prim）算法，一种称作克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
6.普里姆算法思想：
   假设G=(V,E)为一个带权图，其中V为带权图中顶点的集合，E为带权图中边的权值机会。
   设置两个新的集合U和T，其中U用于存放带权图G的最小生成树的顶点的机会，T用于存放带权图G的最小生成树
   的权值的集合。
   普里姆算法的思想是：令集合U的初值为U={u0},即假设构造最小生成树时从顶点u0开始，集合T的初值为T={}。
   从所有顶点u属于U和顶点v属于V-U的带权边中，选出具有最小权值的边(u,v),将顶点v加入集合U中，将边(u,v)
   加入集合T中。如此不断重复，当U=V时，最小生成树构造完毕。此时，集合U中存放着最小生成树顶点的集合，集合T中存放着最小
   生成树边的权值的集合。




  7.克鲁斯卡尔算法：
     设无向连通带权图G=(V,E),其中V为顶点集合，E为边的集合。克鲁斯卡尔算法的思想是：
设带权图G的最小生成树T由顶点集合和边的集合构成，其初值为T=(V,{}),即初始时最小生成树T只有带权图G中的顶点集合组成，
各顶点之间没有一条边。这样，最小生成树T中的各个顶点各自构成一个连通分量。然后，按照边的权值递增的顺序考察带权图G中
的边集合E中的各条边，若被考察的边的两个顶点属于T的2个不同的连通分量，则将此边加入到最小生成树T中，同时把两个连通分量连接
为一个连通分量；若被考察的边的两个顶点属于T的同一个连通分量，则将此边舍去，当T中的连通分量个数为1时，T中的该连通分量即为带权图
G的一棵最小生成树。


  克鲁斯卡尔算法主要包括2个部分：首先是带权图G中e条边的权值的排序，其次是判断选取的边的2个顶点是否属于同一个连通分量。


  8.克鲁斯卡尔算法的时间复杂主要由排序方法决定，而克鲁斯卡尔算法的排序算法只与边的个数有关，与图顶点的个数无关。当使用时间复杂度为
  O(elbe)的排序算法时，克鲁斯卡尔算法得时间复杂度即为O(elbe)。因此，当带权图的顶点个数较多，而边的个数较少时，使用克鲁斯卡尔算法
  构造最小生成树的时间效率较好。

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#include<stdio.h>#include<malloc.h>#define MaxSize 10        //定义元素的大小typedef char DataType;        //定义一个类型#define MaxVertices 10       //定义顶点的最大值#define MaxWeight 10000        //定义无穷大的具体值typedef char VerT;typedef struct{     //定义一个结构体  DataType list[MaxSize];  int size;             //结构体元素的大小}SeqList;                 //结构体的对象typedef struct{SeqList Vertices;//存放顶点的顺序表int edge[MaxVertices][MaxVertices];//存放边的邻接矩阵int numOfEdges;//边的条数}AdjMGraph;typedef struct{int row;//行下标int col;//列下标int weight;//权值}RowColWeight;//边信息结构体typedef struct{VerT vertex;//保存最小生成树每条边的弧头顶点数据int weight;//保存最小生成树的相应边的权值}MinSpanTree;//初始化void  initiate(SeqList *L){      L->size=0;//定义初始化元素个数}//求当前元素的个数int getLength(SeqList L){return L.size;//返回长度}//插入数据元素int insertData(SeqList *L,int i,DataType x){//在顺序表L的第i(0<=i<=size)个位置前插入数据元素x//插入成功返回1，出人失败返回0   int j;   if(L->size>=MaxSize){      printf("顺序表已满，无法插入!!\n");  return 0;   }else if(i<0||i>L->size){      printf("插入的位置不合法，不在指定的范围，参数i不合法!\n");  return 0;   }else{      //从后向前一致移动数据，为插入做准备   for(j=L->size;j>i;j--){         L->list[j]=L->list[j-1];   }       L->list[i]=x;   L->size++;   return 1;   }}//删除数据int deleteData(SeqList *L,int i,DataType *x){     //删除顺序表中位置为i的数据i>=0&&i<=size-1，把数据保存到x中//删除成功返回1，否则返回0int j;if(L->size<=0){    printf("顺序表已空无数据元素可删!\n");return 0;}else if(i<0||i>L->size-1){    printf("参数i不合法，不能删除!\n");return 0;}else{*x=L->list[i];for(j=i+1;j<=L->size-1;j++){//从前往后一次前移     L->list[j-1]=L->list[j];}L->size--;//数据元素减一return 1;}}//取出数据元素int getData(SeqList L,int i,DataType *x){    if(i<0||i>L.size-1){printf("参数i不合法，不能删除!\n");return 0;}else{    *x=L.list[i];return 1;}}//初始化有n个顶点的顺序表和邻接矩阵void InitiateG(AdjMGraph *g,int n){//初始化int i,j;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){if(i==j){g->edge[i][j]=0;}else{g->edge[i][j]=MaxWeight;//MaxWeight表示无穷大}}}g->numOfEdges=0;//边的条数置为0initiate(&g->Vertices);//顺序表初始化}//插入顶点void InsertVertex(AdjMGraph *g,DataType vertex){//在图G中插入顶点vertexinsertData(&g->Vertices,g->Vertices.size,vertex);//顺序表尾插入}//插入边void InsertEdge(AdjMGraph *g,int v1,int v2,int weight){//在图中插入边<v1,v2>,边<v1,v2>的权为weightif(v1<0||v1>=g->Vertices.size||v2<0||v2>=g->Vertices.size){printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");return ;}g->edge[v1][v2]=weight;g->numOfEdges++;}//删除边void DeleteEdge(AdjMGraph *g,int v1,int v2){//在G图中删除边<v1,v2>if(v1<0||v1>=g->Vertices.size||v2<0||v2>=g->Vertices.size){printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");return ;}if(g->edge[v1][v2]==MaxWeight||v1==v2){printf("该边不存在!!!\n");return;}g->edge[v1][v2]=MaxWeight;g->numOfEdges--;}//取第一个邻接顶点int GetFirstVex(AdjMGraph g,int v){//在图G中寻找序号为v的顶点的第一个邻接顶点//如果这样的顶点存在，则返回该邻接顶点的序号，否则返回-1int col;if(v<0||v>=g.Vertices.size){printf("参数v1越界出错!!!\n");return -1;}for(col=0;col<g.Vertices.size;col++){if(g.edge[v][col]>0&&g.edge[v][col]<MaxWeight){return col;}}return -1;}//取下一个邻接顶点int GetNextVex(AdjMGraph g,int v1,int v2){//在图中寻找v1顶点的邻接顶点v2的下一个邻接顶点//如果这样的邻接顶点存在，则返回该邻接顶点的序号；否则返回-1//v1和v2都是相应的顶点的序号int col;if(v1<0||v1>g.Vertices.size||v2<0||v2>=g.Vertices.size){printf("参数v1或v2越界出错!!!\n");return -1;}for(col=v2+1;col<g.Vertices.size;col++){if(g.edge[v1][col]>0&&g.edge[v1][col]<MaxWeight){return col;}}return -1;}void CreatGraph(AdjMGraph *g,DataType V[],int n,RowColWeight E[],int e){//在图中插入n个顶点信息V和e条边信息Eint i,k;InitiateG(g,n);//d顶点顺序表初始化for(i=0;i<n;i++){InsertVertex(g,V[i]);//插入顶点}for(k=0;k<e;k++){InsertEdge(g,E[k].row,E[k].col,E[k].weight);//插入边}}//普里姆函数设计//参数g为邻接矩阵存储结构的图//closeVertex为通过函数得到的最小生成树的顶点和相应顶点边的权值数据void Prim(AdjMGraph g,MinSpanTree closeVertex[]){//用普里姆算法建立带权图G的最小生成树closeVertexVerT x;int n=g.Vertices.size,minCost;int *lowCost=(int *)malloc(sizeof(int)*n);//保存集合U中顶点ui与集合V-U中顶点vj的所有边中当前具有最小权值的边(u,v)int i,j,k;for(i=1;i<n;i++){//初始化//lowCost的初始值为邻接矩阵数组中第0行的值lowCost[i]=g.edge[0][i];//存放了从集合U中顶点0到集合V-U中各个顶点的权值}//从顶点0出发构造最小生成树getData(g.Vertices,0,&x);//取顶点0closeVertex[0].vertex=x;//保存顶点lowCost[0]=-1;//标记顶点for(i=1;i<n;i++){//寻找当前最小权值的边对应的弧头顶点kminCost=MaxWeight;//MaxWeight为定义的最大值for(j=1;j<n;j++){if(lowCost[j]<minCost&&lowCost[j]>0){minCost=lowCost[j];k=j;}}getData(g.Vertices,k,&x);//取弧头顶点kcloseVertex[i].vertex=x;//保存弧头顶点k的数据closeVertex[i].weight=minCost;//保存相应的权值lowCost[k]=-1;//标志顶点k//根据加入集合U的顶点k修改lowCost中的数值for(j=1;j<n;j++){if(g.edge[k][j]<lowCost[j]){lowCost[j]=g.edge[k][j];}}}}void main(){AdjMGraph g;DataType a[]={'A','B','C','D','E','F','G'};RowColWeight rcw[]={{0,1,50},{1,0,50},{0,2,60},{2,0,60},{1,3,65},{3,1,65},{1,4,40},{4,1,40},{2,3,52},{3,2,52},{2,6,45},{6,2,45},{3,4,50},{4,3,50},{3,5,30},{5,3,30},{3,6,42},{6,3,42},{6,2,45},{4,5,70},{5,4,70}};int n=7,e=20;int i,j;    MinSpanTree closeVertex[7];//定义保存最小生成树的数组CreatGraph(&g,a,n,rcw,e);//创建图        Prim(g,closeVertex);//调用Prim函数//输出Prim函数得到最小生成树的顶点序列和权值printf("初始顶点=%c\n",closeVertex[0].vertex);    for(i=1;i<n;i++){printf("顶点=%c   边的权值=%d\n",closeVertex[i].vertex,closeVertex[i].weight);}}

结果输出为：