UVAlive 5971 Permutation Counting

Permutation Counting
Dexter considers a permutation of first N natural numbers good if it doesn't have x and x+1 appearing cons ecutively, where (1 ≤ x < N). For example, for N=3, all good permutations are:
1.{1, 3, 2}
2.{2, 1, 3}
3.{3, 2, 1}
Input
Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.Each case starts with a line containing an integer N (1 ≤ N ≤ 10^6).
Output
For each case, print the case number and the number of good permutations modulo 1000000007.
Sample Input
3
2
3
5
Sample Output
Case 1: 1
Case 2: 3
Case 3: 53

解析

这道题是一道推公式的数学题 f[i]表示n=i的good permutations

f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-2)

其中f[i-1]*(i-1)很容易想到对于i-1合法排列插入i（只要i不插在i-1后就可以）这样的空位总共有i-1个

例如对于n=4

_1_3 2_

_2_1_3

_3 2_1_

后面的f[i-2]*(i-2)稍稍难一点，我们可以考虑有一组x x+1相连的情况，只要把 i 插在x x+1之间就合法了。比如考虑n=5 对于2 3 1 4这样一组非法的序列在2 3间插入4就合法了。这时候计算总共有多少个仅有2 3相连的非法序列：

因为仅有2 3相连所以把2 3看做一个整体（我们姑且把这个整体看做2）且要保证这个整体前面不是1后面不是4然后再变换一下：2 3整体看做2    比3大的数减1（这样4就变成了3 就不能排在2后面了 换句话说2 3 4肯定不会连在一起）问题就转化成了求i-2的合法序列数。

2 3 1 4
  2   1 3

像x x+1这样的在i-1中能组成i-2对，所以f[i-2]*(i-2)

这样就推出f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-2)

#include<cstdio>using namespace std;long long dp[1000005];int main(){dp[1]=1;dp[2]=1;for(int i=3;i<=1000000;i++)dp[i]=(dp[i-1]*(i-1)%1000000007+dp[i-2]*(i-2)%1000000007)%1000000007;int T;scanf("%d",&T);for(int i=1;i<=T;i++){int a;scanf("%d",&a);printf("Case %d: %lld\n",i,dp[a]);}return 0;}