网络流3最小路径覆盖问题

题目大意：

对于给定的有向无环图，找出其中的最小路径覆盖，并打印出第一条路径。

题目测试数据与数据范围：

11 12
1 2
1 3
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

1 4 7 10 11

2 5 8

3 6 9

3

顶点数与边数的范围不定。

题目分折：

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。


小乐一下：

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，

我的代码，无论你怎么说，我总是觉得刘汝佳的代码格式很优秀，当然，更好更简洁的由你来实现，不能直接复制。

#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>#include<vector>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;const int INF = 0x3fffffff;const int maxn = 1005;struct Edge{    int from,to,cap,flow;};struct Dinic{    int n,m,s,t;    vector<Edge> edges;    vector<int> G[maxn];    bool vis[maxn];    int d[maxn];    int cur[maxn];    void Init(){        for(int i = 0;i<maxn;i++) G[i].clear();        edges.clear();    }    void AddEdge(int from,int to,int cap){        edges.push_back((Edge){from,to,cap,0});        edges.push_back((Edge){to,from,0,0});        m = edges.size();        G[from].push_back(m-2);        G[to].push_back(m-1);    }     bool BFS(){         memset(vis,0,sizeof(vis));         queue<int> Q;         Q.push(s);         d[s] = 0;         vis[s] = 1;         while(!Q.empty()){            int x = Q.front();Q.pop();            for(int i = 0;i<G[x].size();i++){                Edge & e = edges[G[x][i]];                if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow){                    vis[e.to] = 1;                    d[e.to] = d[x] + 1;                    Q.push(e.to);                }            }         }         return vis[t];     }     int DFS(int x,int a){         if(x==t || a==0) return a;         int flow = 0,f;         for(int &i = cur[x];i<G[x].size();i++){            Edge &e = edges[G[x][i]];            if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f=DFS(e.to,min(a,e.cap-e.flow)))>0){                e.flow += f;                edges[G[x][i]^1].flow -= f;                flow += f;                a -= f;                if(a==0) break;            }         }         return flow;     }     int Maxflow(int s,int t){         this->s = s;         this->t = t;         int flow = 0;         while(BFS()){            memset(cur,0,sizeof(cur));            flow += DFS(s,INF);         }         return flow;     }    void Topath(int n){        memset(vis,false,sizeof(vis));        for(int u = 1;u<=n;u++){            int tmp = u;            if(vis[tmp]) continue;            int first = 1;            while(!vis[tmp]){                vis[tmp] = true;                if(first) {printf("%d",tmp);first = 0;}                else printf(" %d",tmp);                for(int i = 0;i<G[tmp].size();i++){                    if(edges[G[tmp][i]].flow > 0){                        tmp = edges[G[tmp][i]].to-n;                        break;                    }                }            }            printf("\n");        }    }};int main(){    Dinic Graph;    int i,u,v,m,n;    int a,b;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){        Graph.Init();        for(i = 1;i<=n;i++) Graph.AddEdge(0,i,1);        for(i = n+1;i<=2*n;i++) Graph.AddEdge(i,2*n+1,1);        for(i = 1;i<=m;i++){            scanf("%d%d",&a,&b);            Graph.AddEdge(a,b+n,1);        }        printf("%d\n",n-Graph.Maxflow(0,2*n+1));        Graph.Topath(n);    }    return 0;}

伟大的梦想成就伟大的人，从细节做好，从点点滴滴做好，从认真做好。