最大公约数和最小公倍数

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3常用结论编辑

在解有关最大公约数、最小公倍数的问题时，常用到以下结论：
　　（1）如果两个自然数是互质数，那么它们的最大公约数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。
　　例如8和9，它们是互质数，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
　　（2）如果两个自然数中，较大数是较小数的倍数，那么较小数就是这两个数的最大公约数，较大数就是这两个数的最小公倍数。
　　例如18与3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
　　（3）两个整数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
　　例如8和14分别除以它们的最大公约数2，所得的商分别为4和7，那么4和7是互质数。
　　（4）两个自然数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 
　　例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。[1] 

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法：扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的一种方法，常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元，而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。[6-7]   

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab≠0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。[8]