【排序算法】归并排序(C++实现)

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归并排序是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。常见的归并排序有两路归并排序（Merge Sort），多相归并排序（Polyphase Merge Sort），Strand排序（Strand Sort）。下面介绍第一种：

（一）两路归并排序

最差时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度：O(nlogn)
最差空间复杂度：O(n)
稳定性：稳定

两路归并排序（Merge Sort），也就是我们常说的归并排序，也叫合并排序。它是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，归并操作即将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
归并操作的基本步骤如下：
1.申请两个与已经排序序列相同大小的空间，并将两个序列拷贝其中；
2.设定最初位置分别为两个已经拷贝排序序列的起始位置，比较两个序列元素的大小，依次选择相对小的元素放到原始序列；
3.重复2直到某一拷贝序列全部放入原始序列，将另一个序列剩下的所有元素直接复制到原始序列尾。

设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：
1.分解：将当前区间一分为二，即求分裂点
2.求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；
3.组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

算法示意图：

代码实现：

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1. void Merge(int *a, int p, int q, int r)  
2. {  
3.     int n1 = q-p+1;  
4.     int n2 = r-q;  
5.     int *L = new int[n1+1];  
6.     int *R = new int[n2+1];  
7.     int i, j, k;  
8.       
9.     for (i=0; i<n1; i++){  
10.         L[i] = a[p+i];  
11.     }  
12.     for (j=0; j<n2; j++){  
13.         R[j] = a[q+j+1];  
14.     }  
15.     L[n1] = 10000000;  
16.     R[n2] = 10000000;  
17.   
18.     for (i=0, j=0, k=p; k<=r; k++)  
19.     {  
20.         if (L[i]<=R[j])  
21.         {  
22.             a[k] = L[i];  
23.             i++;  
24.         }else{  
25.             a[k] = R[j];  
26.             j++;  
27.         }  
28.     }  
29.   
30.     delete []L;  
31.     delete []R;  
32. }  
33.   
34. void MergeSort1(int *a, int p, int r)  
35. {  
36.     if (p<r)  
37.     {  
38.         int q = (p+r)/2;  
39.         MergeSort1(a, p, q);  
40.         MergeSort1(a, q+1, r);  
41.         Merge(a, p, q, r);  
42.     }  
43. }  

虽然插入排序的时间复杂度为O(n^2)，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，但插入排序中的常数因子使得它在n较小时，运行得要更快一些。因此，在归并排序算法中，当子问题足够小时，采用插入排序算法就比较合适了。

代码实现：

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1. void MergeSort2(int *a, int p, int r)  
2. {  
3.     if ((r-p)>=50) // 小于50个数据的数组进行插入排序  
4.     {  
5.         int q = (p+r)/2;  
6.         MergeSort2(a, p, q);  
7.         MergeSort2(a, q+1, r);  
8.         Merge(a, p, q, r);  
9.     }else  
10.     {  
11.         InsertionSort(a+p, r-p+1);  
12.     }  
13. }  

MergeSort1与MergeSort2算法排序时间实验结果比较：

数据量

1K

10K

100K

1000K

10000K

MergeSort1

0.001s

0.008s

0.065s

0.552s

5.875s

MergeSort2

<0.001s

0.001s

0.021s

0.219s

2.317s