LightOJ数论题单及简易题解

1007 计算前n个数的欧拉函数的平方的和，递推计算欧拉函数，并利用树状数组，注意2 5000000这组数据要unsigned long long才能存下
1014 计算P-L的因子中大于L的数的个数，从1到65535分别对P-L进行试除，同时储存除数和商，然后输出大于L的数即可
1024 计算最大公倍数，每个数需要素数展开，然后取最高次幂，结果需要大数，大概有4000位，写不好的话会T
1028 计算N的因子的个数-1，水题，打个素数表然后试除即可
1035 计算N的素数分解式，N最大才100，注意输出格式，水
1045 计算N！在K进制下的位数，即计算log(1)+log(2)+...+log(N)其中log的底数都是K，beginner的题
1054 计算n^m的所有因子的和模1000000007，求n的素数分解式，对每个素数的幂乘以m，然后由有一个数的所有因子和函数是积性函数得出所有因子的和为∏(p^am-1)/(p-1)
1077 计算网格上起始都是整点的线段经过的整点的个数，答案为1+gcd(abs(x1-x2),abs(y1-y2))，这题相当水
1090 计算(nCr)*(p^q)的末尾0的个数，分别计算2和5的幂，输出小的
1098 即计算(1<=i<=n)∑i([n/i]-1),可转换为根号N的（我真是弱爆了，看了别人的代码，研究半天才想明白）。
1138 给出N!末尾0的个数X，计算N，无解输出impossible。考虑把原数转化为5进制，找出X和这个5进制数的关系，即可得解
1163 给出A-B，其中B=A/10，计算A的可能值。A=(A-B)*10/9如果(A-B)%9==0则多输出一个(A-B)*10/9-1。
1197 求a,b(1<=a<=b<2^31,b-a<=100000)间的素数个数，求65535内的素数，然后对[a,b]区间筛选一下就行了
1213 分析一个循环语句，得出答案为K*N^(K-1)*∏A % MOD
1214 判断一个数能不能整除另一个数，大数运算。
1215 给出A,B,LCM(A,B,C)<10^12。求C，如果无解输出impossible。思路很简单写起来略麻烦
1220 给出x，计算满足x=b^p中最大的p。其中x的绝对值不小于2不大于32bit整数，求x的素数分解式，找幂的最大公约数，如果x是负数，那么答案是这个最大公约数的最大奇因子
1234 计算(1<=i<=n)∑1/i。n<=1e8。开不了1e8的数组，将1e8分组为1e5计算即可。（综合考虑时间复杂度和空间复杂度，水题）
1236 计算最大公倍数等于n的数的对数。(a,b),(b,a)算一对。求素数分解式，若bi是第i个素数的幂，那么对于这两个数中有一个的幂一定是bi，另一个随意，那么对于第i的素数的分配方案有(2*bi+1)种（即假设第一个数的幂是bi，另一个数的幂可以为0~bi共bi+1种；另一方面假设第二个数是bi，同理第一个数的幂的选择有bi+1种，这里排除幂都是bi的情况，对于某个素数pi，这两个数的幂的选择方案有2*bi+1种）。那么对于所有素数，共有∏(2*bi+1)种分配方案，由于要排除(a,b),(b,a)这种情况，在之前的计算中除了两个数都是n这种情况都有重复，答案则应该是(∏(2*bi+1)+1)/2
1245 计算(1<=i<=n)∑[n/i]，这题可以参考forum
1259 入门题
1278 计算把N拆分成连续整数和的拆分数，要求拆分成至少两个数。即求N奇数因子的个数，pollard rho即可。
1282 求N^K(2<=N<2^31,0<k<=10^7)的前3位和后3位，后三位就不说了，前三位用double一直保留前三位就能乱搞过去。

1289 计算1~N的最小公倍数，N<=1e8，时限4s,内存64MB。先筛出N内的素数（这里容易爆内存），然后容易推得若i是以素数p为底的数，则lcm[i]=lcm[i-1]*p,否则lcd[i]=lcm[i-1]，lcm[1]=1，由此可以预处理一下就能达到时限，但要注意内存限制。

1318 很容易列出答案的公式，答案是对N取模+1以下省略，当M=0时是K^L，否则K=1时是0，其他情况是(K^L)*C(L,M)*(K-1)^M，计算C(L,M)时可以简单的计算素数p下的L!、M!和（L-M)!的幂，然后相减

1333 将那些blocks排下序就行了，没什么难的

1340 求最大的b,使N！在b进制下的末尾0的个数至少为t,1<=N<=10^5,1<=t<=1000。筛N之内的素数，然后依次看在素数p进制下0的个数t'，t'大于t则t'-=t，ans=ans*p%mod

1341 给出两个正整数1<=a<=N<=1e12。问N可以拆成多少对p*q，使得p和q中最小的不小于a，且p!=q。利用pollard rho拆分素因子，然后暴力枚举所有因子，记录因子中大于a，且小于根号N的个数。

1356 二分图的最大独立集。将每个数素因子分解，按每个数素书幂的和的奇偶来分为两部分，显然同一个集合内的两个元素不会是prime independent，对每对prime independent的两个数连边，然后求最大独立集就行了。

1370 给出多个n(1<=n<=1e6),求满足phi(x)>=n的最小的x之和，就是反求欧拉函数。递推计算phi(1)~phi(1e6+5)。利用phi(1)~phi(1e6+5)计算最小的x。

1375 询问∑lcm(i,j)(1<=i<j<=n),n的范围是3e6，case数有2e5。必须预处理答案。经过一番推导可以发现ans[n]-ans[n-1]=∑_(k|n)[n/k]*k*k*phi[k]/2，由此预处理所有答案即可。