树状数组的大概理解

 原帖：http://blog.csdn.net/youngyangyang04/article/details/6705678

我只是个跑腿的

问题提出：已知数组a[],元素个数为n,现在更改a中的元素,要求得新的a数组中i到j区间内的和(1<=i<=j<=n).

思考：对于这个问题,我们可以暴力地来解决,从a[i]一直累加到a[j],最坏的情况下复杂度为O(n),对于m次change&querry,合起来的复杂度为O(m*n),在n或m很大的情况下,这样的复杂度是让人无法忍受的.另外,如果没有元素的变更,我们完全可以存储sum[1,k](k=1,2,……),然后对任意给定的查找区间[i,j],都可以方便的用ans=sum[1,j]-sum[1,i-1],当然这只是没有元素改变的情况下的比较优化的解法.那么对于有元素变更的问题是否有更高效的方法呢?(废话!没有我还写啥?!)可以想一下,每次更改的元素是比较少的,有时候甚至每次只改变一个元素,但是在用暴力方法求区间和的时候,却对区间内所有的元素都累加了一遍,这样其实造成了许多无谓的运算.这时候也许会想到如果能把一些结果存起来会不会减少很多运算?答案是肯定的,但问题是怎么存,存什么?如果存任意区间的话,n比较大的时候不但内存吃不消,而且存储的量太大,不易更改,反而得不偿失;那么也许可以考虑存储特定的一些区间(比如说线段树,其实现在讨论的问题用线段树完全可以解,以后再详细写线段树).那么现在重新回过头来,看下这个问题,我们已经确定了要存储一些特定区间sum的想法,接下来我们要解决的无非是两个问题:1、减少更改元素后对这些区间里的sum值的更改时间.2、减少查找的时间.

好了废话了这么半天,无非是想让自己以及看到的人明白为什么要用树状数组.

接下来正式入题.

首先我们可以借鉴元素不变更问题的优化方法,先得到前i-1项之和and前j项之和,以s[i]表示前i项之和,那么sum[i,j]=s[j]-s[i-1].那么现在的问题已经转化为求前i项之和了.另外,我们已经确定要存储一些特定区间的和,现在就要来揭示这些特定的区间究竟指什么.

在文字说明之前先引入一个非常经典的,在网上找到的树状数组文章里几乎都要出现的一个图片

从图中不难发现,c[k]存储的实际上是从k开始向前数k的二进制表示中右边第一个1所代表的数字个元素的和(这么说可能有点拗口,令lowbit为k的二进制表示中右边第一个1所代表的数字,然后c[k]里存的就是从a[k]开始向前数lowbit个元素之和)这么存有什么好处呢?无论是树状数组还是线段树,都用到了分块的思想,而树状数组采用这样的存储结构我想最主要的还是这样方便计算,我们可以用位运算轻松地算出lowbit.分析一下这样做的复杂度:对于更改元素来说,如果第i个元素被修改了,因为我们最终还是要求和,所以可以直接在c数组里面进行相应的更改,如图中的例子,假设更改的元素是a[2],那么它影响到得c数组中的元素只有c[2],c[4],c[8],我们只需一层一层往上修改就可以了,这个过程的最坏的复杂度也不过O(logN);对于查找来说,如查找s[k],只需查找k的二进制表示中1的个数次就能得到最终结果,比如查找s[7],7的二进制表示中有3个1,也就是要查找3次,到底是不是呢,我们来看上图,s[7]=c[7]+c[6]+c[4],可能你还不知道怎么实现这个过程.

还以7为例,二进制为0111,右边第一个1出现在第0位上,也就是说要从a[7]开始向前数1个元素(只有a[7]),即c[7];

然后将这个1舍掉,得到6,二进制表示为0110,右边第一个1出现在第1位上,也就是说要从a[6]开始向前数2个元素(a[6],a[5]),即c[6];

然后舍掉用过的1,得到4,二进制表示为0100,右边第一个1出现在第2位上,也就是说要从a[4]开始向前数4个元素(a[4],a[3],a[2],a[1]),即c[4].

int lowbit(int x)//计算lowbit{    return x&(-x);//计算2^k，k为x的二进制末尾0的个数}void add(int i,int val)//将第i个元素更改为val注意i不可为零{    while(i<=n)//n为数组上界    {        c[i]+=val;        i+=lowbit(i);    }}int sum(int i)//求前i项和{    int s=0;    while(i>0)    {        s+=c[i];        i-=lowbit(i);    }    return s;}

一维树状数组模版:

int a[100010];int tree[100010];int lowbit(int x)//计算lowbit例如4后面有二进制后面有两个零，所以就是i+2^2,如果是5二进制后面没有零，就是i+2^0{return x&(-x);}void add(int i,int val)//将第i个元素更改为val注意i不可为零{while(i<=n){tree[i]+=val;i+=lowbit(i);}}int sum(int i)//求前i项和{int s=0;while(i>0){s+=tree[i];i-=lowbit(i);}return s;}

二维树状数组模版：

const int MAX=1200;int c[MAX][MAX];int n;int LowBit(int t){    return t&(-t);}int Sum(int endx,int endy){    int sum=0;    int temp=endy;    while(endx>0)    {        endy=temp;//        while (endy>0)        {            sum+=c[endx][endy];            endy-=LowBit(endy);        }                endx-=LowBit(endx);    }    return sum;}void add(int addx,int addy,int num){    int temp=addy;    while (addx <=n)    {        addy=temp;        while(addy<=n)        {            c[addx][addy]+=num;            addy+=LowBit(addy);        }        addx+=LowBit(addx);    }}int GetSum(int l,int b,int r,int t){    return Sum(r,t)-Sum(r,b-1)-Sum(l-1,t)+Sum(l-1,b-1);}