拓扑排序

一、概述

　　对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。这样的线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicai Order)的序列，简称拓扑序列。

       注意：
   　①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。
   　②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。
   　③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。
   　④一个DAG可能有多个拓扑序列。
     【例】对图G₉进行拓扑排序，至少可得到如下的两个(实际远不止两个)拓扑序列：C₀，C₁，C₂，C₄，C₃，C₅，C₇，C₈，C₆和C₀，C₇，C₉，C₁，C₄，C₂，C₃，C₆，C₅。
　　 
　　⑤当有向图中存在有向环时，拓扑序列不存在
        【例】下面(a)图中的有向环重排后如(b)所示，有向边<v₃，v_l>和其它边反向。若有向图被用来表示某项工程实施方案或某项工作计划，则找不到该图的拓扑序列(即含有向环)，就意味着该方案或计划是不可行的。
　　　

　
二、无前趋的顶点优先的拓扑排序方法　　

　　该方法的每一步总是输出当前无前趋(即入度为零)的顶点，其抽象算法可描述为：
    　　　　NonPreFirstTopSort(G){           //优先输出无前趋的顶点

      　　　　  while(G中有入度为0的顶点)do{

       　　　　　　从G中选择一个人度为0的顶点v且输出之；
     　　　　 　　 从G中删去v及其所有出边；
     　　　　    }
    　　　　    if(输出的顶点数目<|V(G)|)       //若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
       　　　　　　Error("G中存在有向环，排序失败！")；
    　　　　 }    

      注意：
    　无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在具体存储结构下，为便于考察每个顶点的入度，可保存各顶点当前的入度。为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点：
    　在开始排序前，扫描对应的存储空间，将人度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选入度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。

拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。
    (1) 选择一个入度为0的顶点并输出之
    (2) 从网中删除此顶点及所有出边。
    循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。

下面以图为例，来说明拓扑排序算法的执行过程。

 
拓扑排序的图形说明:
    (1) 在(a)图中v0和v1的入度都为0，不妨选择v0并输出之，接着删去顶点v0及出边<0,2>，得到的结果如(b)图所示。
    (2) 在(b)图中只有一个入度为0的顶点v1，输出v1，接着删去v1和它的三条出边<1,2>,<1,3>和<1,4>，得到的结果如(c)图所示。
    (3) 在(c)图中v2和v4的入度都为0，不妨选择v2并输出之，接着删去v2及两条出边<2,3>和<2,5>，得到的结果如(d)图所示。
    (4) 在(d)图上依次输出顶点v3,v4和v5，并在每个顶点输出后删除该顶点及出边，操作都很简单，不再赘述。

三、无后继的顶点优先拓扑排序方法　　

1、思想方法
      该方法的每一步均是输出当前无后继(即出度为0)的顶点。对于一个DAG，按此方法输出的序列是逆拓扑次序。因此设置一个栈(或向量)T来保存输出的顶点序列，即可得到拓扑序列。若T是栈，则每当输出顶点时，只需做人栈操作，排序完成时将栈中顶点依次出栈即可得拓扑序列。若T是向量，则将输出的顶点从T[n-1]开始依次从后往前存放，即可保证T中存储的顶点是拓扑序列。
2、抽象算法描述
    　　NonSuccFirstTopSort(G){             //优先输出无后继的顶点
    　　  while(G中有出度为0的顶点)do {
     　　  从G中选一出度为0的顶点v且输出v；
    　　   从G中删去v及v的所有人边
    　　   }
     　　 if(输出的顶点数目<|V(G)|)
     　　      Error("G中存在有向环，排序失败!")；
    　　 }

四、利用深度优先遍历对DAG拓扑排序　　

　　当从某顶点v出发的DFS搜索完成时，v的所有后继必定均已被访问过(想像它们均已被删除)，此时的v相当于是无后继的顶点，因此在DFS算法返回之前输出顶点v即可得到 DAG的逆拓扑序列。
   　其中第一个输出的顶点必是无后继(出度为0)的顶点，它应是拓扑序列的最后一个顶点。若希望得到的不是逆拓扑序列，同样可增加T来保存输出的顶点。若假设T是栈，并在DFSTraverse算法的开始处将T初始化，
   　利用DFS求拓扑序列的抽象算法可描述为：
  　　　　void DFSTopSort(G，i，T){                       //在DisTraverse中调用此算法，i是搜索的出发点，T是栈
   　　　　 int j；
   　　　　 visited[i]=TRUE；            //访问i
   　　　　 for(所有i的邻接点j)          //即<i，j>∈E(G)
   　　　　   if(!visited[j])
    　　　　   DFSTopSort(G，j，T)；
    　　　　                                              //以上语句完全类似于DFS算法
    　　　　  Push(&T，i)；                   //从i出发的搜索已完成，输出i
  　　　　  }
   　只要将深度优先遍历算法DFSTraverse中对DFS的调用改为对DFSTopSort的调用，即可求得拓扑序列T。
  　 若G是一个DAG，则用DFS遍历实现的拓扑排序与NonSuccFirstTopSort算法完全类似；但若C中存在有向环，则前者不能正常工作。

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dfs实现拓扑排序 函数（算法竞赛入门经典）

E(u,v)

int c[maxn];

int topo[maxn],t;

bool dfs(int u)

{

   c[u]=-1;      //开始访问该顶点

   for(int v=0;v<n;v++)

   {

       if(G[u][v]==1)

       {

            if(c[v]<0) return false;   //c[v]=-1代表正在访问该定点（即递归调用dfs(u)正在帧栈中，尚未返回）

            else if(!c[v] && !dfs(v))   return false;   //（c[v]==0 && dfs(v)==false即当前顶点没有后即顶点时，

                                                                       //开始返回 （结束））

       }

   }

   c[u]=1;      //访问结束

   topo[--t]=u;

   return true;

}

bool toposort()

{

t=n;

memset(c,0,sizeof(c));

for(int u=0;u<n;u++)

if(!c[u]) if(!dfs())  return false;

return ture;

}