POJ-2728 Desert King 01参数规划-最优比率生成树

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题目大意：有n个村庄要连在一起，村与村之间的长度为他们之间的水平距离，连在一起的花费是两村的高度差。现求所花费和与长度和之比最小。

一个典故

2005年的ACM地区赛赛场上, 楼爷高速过了一个求最优比率生成树的问题, 从而打乱了全场的阵脚, 顺利夺冠...

 

概念

有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T 最大(或最小).

这显然是一个具有现实意义的问题.

 

解法之一 0-1分数规划

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m .

为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]) 最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:

　1.  z单调递减

　　证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.

　2.  z( max(r) ) = 0

　　证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;

　　        若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大. 

到了这个地步, 七窍全已打通, 喜欢二分的上二分, 喜欢Dinkelbach的就Dinkelbach.

 

复杂度

时间 O( O(MST) * log max(r) )

空间 O( O(MST) )

#include "stdio.h"#include "queue"#include "iostream"#include "functional"#include "math.h"#include "algorithm"using namespace std;const int maxn = 1005;const int mod = 1000000007 ;const int inf = 1<<30;const double eps = 1e-8;typedef __int64 LL;typedef pair<int,int> pii;int n,m;double map[maxn][maxn],len[maxn][maxn],cost[maxn][maxn];double dis[maxn];int pre[maxn];bool vis[maxn];struct Node{double x,y,z;}node[maxn];void GetDis(){for( int i = 1; i <= n; i ++ ){for( int j = i+1; j <= n; j ++ ){len[i][j] = len[j][i] = sqrt( (node[i].x - node[j].x)*(node[i].x - node[j].x) + (node[i].y - node[j].y)*(node[i].y - node[j].y) );cost[i][j] = cost[j][i] = fabs( node[i].z - node[j].z );}}}double prime( double L ){int v,s = 1;double cx = 0,dx = 0,minn;for( int i = 1; i <= n; i ++ )for( int j = i+1; j <= n; j ++ )map[i][j] = map[j][i] = cost[i][j] - L*len[i][j];for( int i = 1; i <= n; i ++ ){dis[i] = inf;  vis[i] = 0;}dis[s] = 0,pre[s] = s;;for( int i = 1; i <= n; i ++ ){minn = inf,v = s;for( int j = 1; j <= n; j ++ )if( !vis[j] && dis[j] < minn )minn = dis[v=j];if( vis[v] ) continue;vis[v] = 1;cx += cost[pre[v]][v];dx += len[pre[v]][v];for( int j = 1; j <= n; j ++ ){if( map[v][j] < dis[j] ){dis[j] = map[v][j];pre[j] = v;}}}return cx/dx;}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGE     freopen("data.txt","r",stdin);     #endifwhile( scanf("%d",&n) != EOF,n ){for( int i = 1; i <= n; i ++ ){scanf("%lf%lf%lf",&node[i].x,&node[i].y,&node[i].z);map[i][i] = 0;}GetDis();double a = 0,b;while( 1 ){b = prime(a);if( fabs(a - b) < eps )break;a = b;}printf("%.3f\n",b); }return 0;}